深刻理解傅里葉變換要點.doc

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1、理解離散傅立葉變換（一）------傅立葉變換的由來一、傅立葉變換的提出讓我們先看看為什么會有傅立葉變換？傅立葉是一位法國數(shù)學家和物理學家的名字，英語原名是JeanBaptisteJosephFourier(1768-1830),Fourier對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學學會上發(fā)表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續(xù)周期信號可以由一組適當?shù)恼仪€組合而成。當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學家拉格朗日(JosephLouisLagrange,1736-1813)和拉普拉斯(PierreSimondeLapla

2、ce,1749-1827)，當拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發(fā)表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在近50年的時間里，拉格朗日堅持認為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。法國科學學會屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅立葉的工作，幸運的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破侖遠征埃及，法國大革命后因會被推上斷頭臺而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個論文才被發(fā)表出來。拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對的。為什么我們要用正弦曲線來代

3、替原來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代替呀，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有原信號所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。二、傅立葉變換分類根據(jù)原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：1非周期性連續(xù)信號傅立葉變換（FourierTransform）2周期性連續(xù)信號傅立葉級數(shù)(FourierSeries)3非周期性離

4、散信號離散時域傅立葉變換（DiscreteTimeFourierTransform）4周期性離散信號離散傅立葉變換(DiscreteFourierTransform)下圖是四種原信號圖例：這四種傅立葉變換都是針對正無窮大和負無窮大的信號，即信號的的長度是無窮大的，我們知道這對于計算機處理來說是不可能的，那么有沒有針對長度有限的傅立葉變換呢？沒有。因為正余弦波被定義成從負無窮小到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個信號就可以被看成是非周期性

5、離散信號，我們就可以用到離散時域傅立葉變換的方法。還有，也可以把信號用復制的方法進行延伸，這樣信號就變成了周期性離解信號，這時我們就可以用離散傅立葉變換方法進行變換。這里我們要學的是離散信號，對于連續(xù)信號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數(shù)值信號，我們的最終目的是運用計算機來處理信號的。但是對于非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對于計算機來說是不可能實現(xiàn)的。所以對于離散信號的變換只有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對于計算機來說只有離散的和有限長度的數(shù)據(jù)才能被處理，對于其它的變換類型只有在數(shù)學演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，后面我

6、們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數(shù)學方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。每種傅立葉變換都分成實數(shù)和復數(shù)兩種方法，對于實數(shù)方法是最好理解的，但是復數(shù)方法就相對復雜許多了，需要懂得有關復數(shù)的理論知識，不過，如果理解了實數(shù)離散傅立葉變換(realDFT)，再去理解復數(shù)傅立葉就更容易了，所以我們先把復數(shù)的傅立葉放到一邊去，先來理解實數(shù)傅立葉變換，在后面我們會先講講關于復數(shù)的基本理論，然后在理解了實數(shù)傅立葉變換的基礎上再來理解復數(shù)傅立葉變換。還有，這里我們所要說的變換(transform)雖然是數(shù)學意義上的變換，但

7、跟函數(shù)變換是不同的，函數(shù)變換是符合一一映射準則的，對于離散數(shù)字信號處理（DSP），有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數(shù)變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。三、一個關于實數(shù)離散傅立葉變換(RealDFT)的例子先來看一個變換實例，下圖是一個原始信號圖像：這個信號的長度是16，于是可以把這個信號分解9個余弦波和9個正弦波（一個長度為N的信號可以分解成N/2+1個