具有時(shí)滯的寡頭壟斷博弈模型的Hopf分支-論文.pdf

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1、2014年9月伊犁師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Sept．2014笫8卷第3劃JoumalofYiliNormalUniversity(NaturalScienceEdition)V01．8NO．3具有時(shí)滯的寡頭壟斷博弈模型的Hopf分支熊英，翟延慧，楊帆，馬曉娜(天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300387)摘要：主要研究了具有時(shí)滯的寡頭壟斷博弈模型的Hop盼支．首先，建立了一個(gè)動(dòng)態(tài)的價(jià)格博弈模型，考慮企業(yè)從獲取市場(chǎng)信息到執(zhí)行信息有時(shí)間上的延遲，從而引入時(shí)滯修改了動(dòng)態(tài)價(jià)格博弈模型．然后將時(shí)滯作為分支參數(shù)研究該模型的局部穩(wěn)定性和Hop盼支的存在性．最后得出結(jié)論：當(dāng)時(shí)滯通過一系列臨界值時(shí)，模型在平衡點(diǎn)處

2、產(chǎn)生了Hop盼支．關(guān)鍵詞：Hopf~-支；延遲；穩(wěn)定性；價(jià)格；動(dòng)態(tài)博弈中圖分類號(hào)：O193文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1673--999X(2014)O3—0007—O40引言分支現(xiàn)象廣泛存在于自然界中，是非線性領(lǐng)域的重要理論，主要用于研究結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的系統(tǒng)．近年來，微分方程模型廣泛應(yīng)用于企業(yè)管理問題中，如何在競(jìng)爭(zhēng)中取勝是企業(yè)關(guān)注的重要問題．時(shí)滯微分方程描述了既依賴于當(dāng)前狀態(tài)又依賴于過去狀態(tài)的發(fā)展系統(tǒng)，比常微分方程的行為和性質(zhì)更豐富，具有理論和實(shí)際意義．作為新興交叉研究領(lǐng)域，用分形理論、混沌理論對(duì)企業(yè)管理中的非線性現(xiàn)象的研究目前是一個(gè)熱點(diǎn)研究課題，在解的基本理論、穩(wěn)定性理論、周期解理論等方面有重

3、要的研究成果，但仍有許多領(lǐng)域未被開發(fā)．本文在國(guó)內(nèi)外相關(guān)領(lǐng)域研究成果的基礎(chǔ)上，在博弈論框架下致力于有限理性預(yù)期下。對(duì)具有時(shí)滯的單寡頭博弈模型在價(jià)格波動(dòng)的傳導(dǎo)過程中的系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行研究．1模型的建立基于國(guó)內(nèi)外的相關(guān)研究成果【卜4引入模型．考慮一個(gè)有限理性寡頭公司制定最佳的價(jià)格決策，從而成本函數(shù)C=qc，其中為產(chǎn)量，c為邊際成本．令其價(jià)格函數(shù)為線性函數(shù)：(g)=a一6g，口，b>0(1．1)本文僅限于討論該企業(yè)能夠通過過去的價(jià)格和需求來估計(jì)邊際利潤(rùn)函數(shù)的情況，邊際利潤(rùn)函數(shù)為一：=a一cC一2b口k一1．2)從而價(jià)格調(diào)整的動(dòng)態(tài)方程為嘶)籌(1．3)其中，a(q)代表公司的產(chǎn)品價(jià)格隨邊際利潤(rùn)變化的程

4、度，并假定a(q)=aq為線性的，>0為價(jià)格調(diào)整的速度．也即是g(f)=aq(t)[a—c一2bq。(f)](1．4)收稿日期：2014．05．14作者簡(jiǎn)介：熊英(199o_-)，女，重慶人，碩士研究生，研究方向：動(dòng)力系統(tǒng)與金融數(shù)學(xué)8伊犁師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2014年為了使模型更貼近于實(shí)際，需進(jìn)行如下改進(jìn)：1)由于企業(yè)獲取的灰色市場(chǎng)信息為不完全信息，為了利潤(rùn)最大化，需考慮其邊際利潤(rùn)：2)由于獲取市場(chǎng)信息具有一定的延時(shí)f，從而還需考慮r時(shí)刻之前的邊際利潤(rùn)．從而改進(jìn)的最終價(jià)格決策的動(dòng)態(tài)模型如下：q(t)=aq(t)[a—C一2b(a~q(t—f)+(1一)g(f))】(1．5)其中，g(

5、，)=o)q(t—lr)+(1-(o)q(t)，0c)·基于經(jīng)濟(jì)模型的現(xiàn)實(shí)意義，這里只討論平衡點(diǎn)非負(fù)的情況·將模型在平衡點(diǎn)礦=處線性化，做變換令x(t)=q(t)一q’，得出系統(tǒng)(1．5)在平衡點(diǎn)處線性化方程x(，)=-a(a—c)cox(t)一a(a-

6、c)(1一oJ)x(t—f)(2．1)其對(duì)應(yīng)的特征方程為+a(a—c)co+a(a—c)(1一co)e一=0(2．2)若=it)為特征方程的一個(gè)根，則有fD+a(a—c)+a(a—c)O—oJ)(cosor—isinor)=0(2．3)分離實(shí)部和虛部得到j(luò)(口-c)緲+(口一c)(1一)cosr=0(2．4)lu—a(a—c)(1一co)sinur=0從而解出09C0S=一——1一(2．5)．USInDf=一ct(a—c)(1一緲)并且下式成立u+(口一c)緲一(口一c)(1一co)。=0(2．6)當(dāng)<時(shí)，特征方程有唯一正根：a(a—c)：(2．7)即特征方程有一對(duì)純虛根士．將帶入(2．5

7、)式可知第3期熊英等：具有時(shí)滯的寡頭壟斷博弈模型的Hopf．~9os(一+2_0，1，2，?)(2．8)引理2．1令=f，=ro，當(dāng)(-0<去時(shí)，橫截條件Re-l>0(2．9)成立．證明：對(duì)特征方程(2．2)的兩邊關(guān)于f求微分，有+(口一c)(1一)e-at(一rd2一)：0，ddf也即是a(a—e)O—co)2e一’r為了方便計(jì)算，取掣的倒數(shù)f(=1一，上式的實(shí)部為Re(警=，將=f代入等式得到Re．(_d2)～1CO