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《函數(shù)一致連續(xù)性的判定 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、目錄1摘要……………………………………………………12關(guān)鍵詞……………………………………………………13基本概念與定理…………………………………………14有限區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的判定………………………15無限區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的判定………………………46一致連續(xù)性的應(yīng)用……………………………………87參考文獻(xiàn)………………………………………………108英文摘要…………………………………………………1011函數(shù)一致連續(xù)性的判定摘要：函數(shù)在區(qū)間I上的一致連續(xù)性與連續(xù)是兩個不同的概念,后者是一個局部性概念,前者具有整體性質(zhì),它刻畫了函
2、數(shù)f(x)在區(qū)間I上變化的相對均勻性.本文總結(jié)了幾個判別函數(shù)一致連續(xù)性的方法，并給出了幾個簡單應(yīng)用.關(guān)鍵詞：函數(shù)、連續(xù)、一致連續(xù)、收斂引言函數(shù)的一致連續(xù)是數(shù)學(xué)分析中的一個重要概念.連續(xù)是考察函數(shù)在一個點(diǎn)的性質(zhì)而一致連續(xù)是考察函數(shù)在一個區(qū)間的性質(zhì).一致連續(xù)比連續(xù)的條件要嚴(yán)格，在區(qū)間上一致連續(xù)的函數(shù)則一定連續(xù)，但連續(xù)的函數(shù)不一定一致連續(xù).因此本文總結(jié)了通過函數(shù)的連續(xù)性尋找一些函數(shù)一致連續(xù)的判別法.1．基本概念與定理定義（一致連續(xù)）：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，當(dāng)時，有，則稱函數(shù)在上一致連續(xù).注：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若，當(dāng)時，有，則
3、稱函數(shù)在區(qū)間上不一致連續(xù).（定理）：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，則在區(qū)間上一連續(xù).2.有限區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的判定定理1函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是函數(shù)在上連續(xù).定理2函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是函數(shù)在上連續(xù)且，都存在.證明必要性，因?yàn)楹瘮?shù)在上一致連續(xù)，即，且，有，顯然函數(shù)在上連續(xù)，且，當(dāng)時，當(dāng)然，有.根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，存在.同理可證，存在.11充分性,因?yàn)椋即嬖?，分別設(shè)為和，構(gòu)造函數(shù)：顯然在上連續(xù)，由定理1可知：在上一致連續(xù)，從而在上一致連續(xù).推論1函數(shù)在（）上一致連續(xù)的充要條件是函數(shù)在（）上連續(xù)，且（）存在.推論2若函數(shù)在有限區(qū)間
4、上連續(xù)、單調(diào)、有界、則函數(shù)在上一致連續(xù).定理3設(shè)在區(qū)間（是有限區(qū)間或無窮區(qū)間）連續(xù)，則在內(nèi)閉一致連續(xù).即，在上一致連續(xù).結(jié)論的正確性有定理直接可得.用此條件能解決很多關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的證明題.其解題思路是把開區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到閉區(qū)間上，從而利用定理.定理4若函數(shù)在及都一致連續(xù)，則在上一致連續(xù).注：改為時，結(jié)論也成立.證明已知函數(shù)在與一致連續(xù)，即：，且，有；，且，有.于是，有，，，且，當(dāng)：1）且，有；2）且，有；3），且，（，）有11即函數(shù)在上一致連續(xù).定理5函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是任給中收斂數(shù)列，函數(shù)列也收斂.證明必要性，由于
5、函數(shù)在上一致連續(xù)，故對于當(dāng)，且時，有設(shè)是中任一收斂數(shù)列，由柯西條件對上述的時，，當(dāng)時，有，故.所以，函數(shù)列也收斂.充分性，假設(shè)在上不一致連續(xù)，即，對（?。?，，且，而且有界，故存在收斂子列.由（），故中相應(yīng)的子列也收斂，且與極限相同，因此數(shù)列也收斂于相同極限，于是數(shù)列也收斂.故當(dāng)足夠大時，與上述矛盾，假設(shè)不成立.即函數(shù)在上一致連續(xù).定理6函數(shù)在上一致連續(xù)的充要條件是任給，時,.證明必要性設(shè)函數(shù)在上一致連續(xù)，則，，當(dāng)且時，.所以.當(dāng)，時.充分性設(shè)，當(dāng)時，11則,，使得當(dāng)時有.所以函數(shù)在上一致連續(xù).注：此命題提供了一個直觀觀察一致連
6、續(xù)的辦法：在圖象上最陡的地方，若，則，一致連續(xù)；若在某處無限變陡，則非一致連續(xù).3.無限區(qū)間上一致連續(xù)函數(shù)的判定定理7若函數(shù)在（）上連續(xù)且，（，）都存在，則函數(shù)在（）上一致連續(xù).證明已知存在，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，有，，，有；又已知函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，則函數(shù)在上一致連續(xù)，即對上述的，，（使），且，有.于是，且（使），有即函數(shù)在上一致連續(xù).推論3若函數(shù)在（）上連續(xù)，且（）存在，則函數(shù)在（）上一致連續(xù).推論4若函數(shù)在上連續(xù)且，都存在，則函數(shù)在上一致連續(xù).定理8定義在上的連續(xù)函數(shù)，若當(dāng)時，有水平漸近線，則在上一致連續(xù).證明由于有水平漸近線
7、知：存在，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則：11，，當(dāng)時，有.因在上連續(xù)，所以在上連續(xù)，從而在上一致連續(xù)，對如上的，，當(dāng)且時，有現(xiàn),只要,若.則.若,則.若分別屬于與,則,,故綜上所述，在上一致連續(xù).注：此定理的結(jié)論可推廣到無窮區(qū)間或上.定理9定義在上的線性函數(shù)必在內(nèi)一致連續(xù).證明，，要使，只要，取，當(dāng)時，有故在內(nèi)一致連續(xù).定理10設(shè)在上連續(xù)，若當(dāng)時，以直線為斜漸近線，則在上一致連續(xù).證明設(shè)，則由已知可得：在上連續(xù).因以直線為斜漸近線，所以即由定理8可知:在上一致連續(xù).又由定理9知：在上一致連續(xù).故在上一致連續(xù).11注：此定理的結(jié)論也可推廣到
8、無窮區(qū)間或上.推論5若函數(shù)在上連續(xù)且曲線：存在不垂直于軸的漸近線，則函數(shù)在上一致連續(xù).定理11若函數(shù)在區(qū)間（可開，可半開，可有限或無限）可導(dǎo)，且在有界，則函數(shù)在上一致連續(xù).證明設(shè)，（），，，當(dāng)時，根據(jù)微分中值定理，存在點(diǎn)介于與之間，使得：即在上一致連續(xù).定理12若函數(shù)與在區(qū)間
