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1、多面體歐拉定理定理?簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E及面數(shù)F間有關(guān)系對于簡單多面體，有著名的歐拉公式：V-E+F=2簡單多面體即表面經(jīng)過連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w。多面體歐拉定理式中V表示多面體的頂點數(shù)，E表示棱數(shù)，F(xiàn)表示面數(shù)。定理一證分析：以四面體ABCD為例。將它的一個面BCD去掉，再使它變?yōu)槠矫鎴D形，四面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E與剩下的面數(shù)F1變形后都沒有變（這里F1=F-1）。因此，要研究V、E和F的關(guān)系，只要去掉一個面，將它變形為平面圖形即可。只需平面圖形證明：V+F1-E=1（1）去掉一條棱，就減少一個面，V+F1-E的值不變。例如去掉BC
2、，就減少一個面ABC。同理，去掉棱CD、BD，也就各減少一個面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不變，因此V+F1-E的值不變（2）再從剩下的樹枝形中，去掉一條棱，就減少一個頂點，V+F1-E的值不變。例如去掉CA，就減少一個頂點C。同理去AD就減少一個頂點D，最后剩下AB。在以上變化過程中，V+F1-E的值不變，V+F1-E=2-0-1=1，所以V+F-E=V+F1-E+1=2。對任意的簡單多面體，運用這樣的方法，都是只剩下一條線段。公式對任意簡單多面體都是正確的。定理意義（1）數(shù)學(xué)規(guī)律：公式描述了簡單多面體中頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間特有的規(guī)
3、律；（2）思想方法創(chuàng)新訓(xùn)練：在定理的發(fā)現(xiàn)及證明過程中，在觀念上，假設(shè)它的表面是橡皮薄膜制成的，可隨意拉伸；在方法上將底面剪掉，然后其余各面拉開鋪平，化為平面圖形（立體圖→平面圖）。（3）引入拓?fù)湫聦W(xué)科：“拉開圖”與以前的展開圖是不同的，從立體圖到拉開圖，各面的形狀，以及長度、距離、面積、全等等與度量有關(guān)的量發(fā)生了變化，而頂點數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)等不變。事實上，定理在引導(dǎo)大家進(jìn)入一個新幾何學(xué)領(lǐng)域：拓?fù)鋵W(xué)。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓?fù)鋵W(xué)就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質(zhì)。（4）給出多面體分類方法：在歐拉公式中
4、，令f(p)=V+F-E，f(p)叫做歐拉示性數(shù)。定理告訴我們，簡單多面體的歐拉示性數(shù)f(p)=2。除簡單多面體外，還有不是簡單多面體的多面體。例如，將長方體挖去一個洞，連結(jié)底面相應(yīng)頂點得到的多面體。它的表面不能經(jīng)過連續(xù)變形變?yōu)橐粋€球面，而能變?yōu)橐粋€環(huán)面，它的歐拉示性數(shù)為f(p)=16+16-32=0，所以帶一個洞的多面體的歐拉示性數(shù)等于零。定理二證如圖（1）多面體，設(shè)頂點數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E。剪掉一個面，將其余的面拉平，使它變?yōu)槠矫鎴D形，如圖（2）我們在兩個圖中求所有面的內(nèi)角總和Σα一方面，在圖（1）中利用面求內(nèi)角總和。設(shè)有F個面，各面的邊數(shù)分
5、別為n1,n2，…，nF，各面的內(nèi)角總和為：Σα=[(n1-2)·1800+(n2-2)·1800+…+(nF-2)·1800]=(n1+n2+…+nF-2F)·1800=(2E-2F)·1800=(E-F)·3600（1）另一方面，在圖（2）的拉開圖中，利用頂點來求內(nèi)角總和。設(shè)剪去的一個面為n邊形，其內(nèi)角和為(n-2)·1800，則所有V個頂點中，有n個頂點在邊上，V-n個頂點在中間。中間V-n個頂點處的內(nèi)角和為(V-n)·3600，邊上的n個頂點處的內(nèi)角和(n-2)·1800。所以，多面體所有各面的內(nèi)角和為：Σα=(V-n)·3600+(n-
6、2)·1800+(n-2)·1800=（V-2）·3600.（2）由（1）（2）得(E-F)·3600=（V-2）·3600所以V+F-E=2.
