曹廣福版實(shí)變函數(shù)第三章習(xí)題解答.doc

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1、第三章習(xí)題參考解答1.設(shè)是上的可測函數(shù)，證明：，是可測集.解：，因?yàn)槭巧系目蓽y，所以與均是可測集.從而可測.2.設(shè)是上的函數(shù)，證明：在上的可測當(dāng)且僅當(dāng)對一切有理數(shù)，是可測集.證：，取單調(diào)遞減的有理數(shù)序列使得，則.由每個(gè)}的可測性，知可測.從而，在上的可測.設(shè)在上的可測，即，可測.特別地，當(dāng)時(shí)有理數(shù)時(shí)，可測.3.設(shè)是上的可測函數(shù)，證明：對于任意的常數(shù)，是上的可測函數(shù).為證上述命題，我們先證下面二命題：命題1.若是中的非空子集，則，有證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瑒t.不妨設(shè)，.因?yàn)?，為開區(qū)間.,存在開區(qū)間序列，，.又因?yàn)椋ㄗⅲ喝?，則.所以.由得任意性，有為開區(qū)間故存在開區(qū)間，使，且.又因

2、為，故.由得任意性，有從而.命題2.設(shè)，，則可測，可測.(由P54.19題的直接推論).證：是直接的，我們僅需證明，如果，則為零測集.故可測.不妨設(shè).現(xiàn)在證明，.事實(shí)上，對于，則，因?yàn)樵诳蓽y，所以，即即可測.3.設(shè)是上的可測函數(shù)，證明：對于任意常數(shù)，仍是上的可測函數(shù).解：記，對于，當(dāng)時(shí)，，.故可測所以：可測.當(dāng)時(shí)，，令，則=.在因?yàn)樵诳蓽y，故可測，又由命題2，可測.從而使上哦可測函數(shù).4.設(shè)是上的可測函數(shù)，證明：在上可測.證明：，因?yàn)樵谏峡蓽y.所以是可列集.即可測.從而在上可測.5.若上的函數(shù)在任意線段上可測，試證它在整個(gè)閉區(qū)間上也可測.證明：，，在上可測，記，則.又因?yàn)?/p>

3、，.由每個(gè)的可測性，得可測.所以在可測.令，即.故可測，從而在上可測.7.設(shè)是上的可測函數(shù)，證明：（i）對上的任意開集，是可測集；(ii)對中的任何開集，是可測集；（iii）對中的任何型集或型集，是可測集.證：（i）當(dāng)時(shí)中有界開集時(shí)，由第一章定理11（P.30），是至多可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間的并，即.由在上哦可測性，知：每個(gè)可測，從而可測.若是的誤解開集，，記，則是中有界開集，且，故.故由得可測性，知可測.(ii)設(shè)是中的任一閉集，記是中開集.=，即.由與得可測性，知，可測.（iii）設(shè)，分別為中型集和型集.即，存在開集列，閉集列使得，從而，且.由與的可測性，知與均可測.

4、8.證明：上兩個(gè)可測函數(shù)的和仍是可測函數(shù).證明：設(shè)，是上的兩個(gè)可測函數(shù)，令，==.由，在可測，知，在可測.從而，與可測.故可測.又因是零測集，故可測.從而在上可測.9.證明：若是及上的非負(fù)可測函數(shù)，則也是上的非負(fù)可測函數(shù).證明：因?yàn)槭羌吧系姆秦?fù)可測函數(shù)，則，與均可測.于是，記，則可測.從而在上非負(fù)可測.10.設(shè)是中有界可測集，是上幾乎處處有限的可測函數(shù)，證明：，存在閉集，使得，而在上有界.證明：（法一）由定理，，閉集，使得且在上連續(xù)，現(xiàn)在證在上有界.如果在無界，即，使得.特別的，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)，，使得；當(dāng)時(shí)，，使得，從而，得中互異點(diǎn)列，使得，，即.另一方面，因?yàn)闉橛薪?，且?/p>

5、故有一收斂子列，不妨設(shè)，則，又因?yàn)樵谶B續(xù).對，，時(shí)，恒有，即.取，，則，但由得定義，有，這是一矛盾.從而在有界.證明：（法二）由定理，，閉集，使得且在上連續(xù)，現(xiàn)在用有限覆蓋定理證：在上有界.，因?yàn)樵谶B續(xù).所以對，使得，恒有：，即.從而.因?yàn)槭怯薪玳]集，故由有限覆蓋定理，存在，，，，使得.取，則，有，.從而在有界.11.設(shè)是上的可測函數(shù)序列，證明：如果，都有，則必有.證：，因?yàn)?，?又因?yàn)楣剩?2．證明:如果是上的連續(xù)函數(shù)，則在的任何可測自己上都可測.證明：（1）先證：在上可測.令，，因?yàn)?現(xiàn)在證：是一個(gè)開集.事實(shí)上，，，取.因?yàn)樵谶B續(xù)，則對于，，使時(shí)，，即，故，從而為開

6、集，可測.即，在上可測.(2)再證：可測，在可測.事實(shí)上，這是P59性質(zhì)2的直接結(jié)果.14.設(shè),是上的兩個(gè)可測函數(shù)序列，且，，都是上的有限函數(shù)證明：（i）是上可測函數(shù)（ii）對于任意實(shí)數(shù)，，若，則還有（iii）若，且，在上幾乎處處不等于0，則（iv）.證明：（i）因?yàn)?，是可測函數(shù)列，由定理，有一個(gè)子列，使得.再由P62性質(zhì)4，是在可測，同理，在可測.（ii）先證：當(dāng)時(shí)，，有.事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，，.所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?從而.再證：.事實(shí)上，，..所以：.（iii）現(xiàn)在證：.先證：，必有.事實(shí)上，若（對于某個(gè)）.因?yàn)?，而，，則是有界無窮數(shù)列.故存在的子列使得.事實(shí)上，如果每個(gè)的

7、收斂子列都.故，時(shí)，恒有.倘若不然，無窮個(gè)，使得.即是有界無窮點(diǎn)列，它有一收斂子列.不妨設(shè)這收斂子列就是它本身.因?yàn)?，，?故這與得每個(gè)收斂子列都為零極限矛盾，從而，，使得時(shí)，有.即，這與矛盾.所以有子列使得.另一方面：因?yàn)?，所?故由定理有一子列，有，從而.故這與矛盾.從而，最后證：.事實(shí)上，.習(xí)題14（iii）引理例1，設(shè)，都是上的可測函數(shù)列且，如果，則.證明：設(shè)，若，即使得即，，，有.特別的，當(dāng)時(shí)，，有；當(dāng)時(shí)，，有；當(dāng)時(shí)，，有這樣繼續(xù)下去，得的一子列使得，，即是一個(gè)有界的無窮數(shù)列，有一收斂子列，.另一方面，因?yàn)椋?，?/p>