曹廣福版實(shí)變函數(shù)與泛函分析第四章答案.doc

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1、第四章習(xí)題參考解答第四章習(xí)題參考解答1．設(shè)是上的可積函數(shù)，如果對(duì)于上的任意可測(cè)子集，有，試證：，證明：因?yàn)?，而?由已知，.又因?yàn)?，所以?故,,從而.即，，.2.設(shè)，都是上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，并且對(duì)任意常數(shù)，都有，試證：，從而，.證明：我們證，是同一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)序列的極限函數(shù).及，令，并且.則是互不相交的可測(cè)集，并且，定義簡(jiǎn)單函數(shù)15第四章習(xí)題參考解答.下面證明：，.,若，則，，所以，即；若，則可取正整數(shù)，時(shí),.故，存在，.即，，.所以，，從而，.同理，，定義簡(jiǎn)單函數(shù)列，其中：，..同上一樣可證明：，.因?yàn)椋?故，.從而，，有.即，，.因此.3.若，計(jì)算.解：設(shè)為

2、有理數(shù)，，則15第四章習(xí)題參考解答.4.設(shè)是中個(gè)可測(cè)集，若內(nèi)每一點(diǎn)至少屬于個(gè)集中的個(gè)集，證明：中至少有一個(gè)測(cè)度不小于.證：令，其中為上的特征函數(shù)，有，所以..如果每個(gè)，則.這與矛盾.從而，使得.5.設(shè)，都是上的可積函數(shù)，試證明：也是上可積函數(shù).證明：（1）先證：設(shè)與都是上的可測(cè)函數(shù)且，若在可積，則在可積.事實(shí)上，，因?yàn)?，故，即，其中：?從而是單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，故：.又因?yàn)閱握{(diào)遞增有上界，所以存在，并且15第四章習(xí)題參考解答，即.所以在可積.（2）再證：在上可積.事實(shí)上，因?yàn)?，在上可積，所以與在上可積，從而+在上可積.又因?yàn)?，由?）。在上可積.6.設(shè)，是上

3、的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，，，試證明：.證明：，因?yàn)椋?，?又因?yàn)椋煞e分的絕對(duì)連續(xù)性（即，P103，定理4）.,,使得對(duì)于任何可測(cè)集，，恒有.對(duì)于，由，得，存在，時(shí)，，有，從而.7.設(shè)為可測(cè)集，且，為上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，，試證:在上可積當(dāng)且僅當(dāng)級(jí)數(shù)收斂.證：設(shè)，，因?yàn)樵诳煞e，故.即，級(jí)數(shù)收斂.,因?yàn)椋?5第四章習(xí)題參考解答，又又.因?yàn)椋?從而，在上可積.8.設(shè)是上的可積函數(shù)，證明：.證明：（1）先證：，存在時(shí)直線上的連續(xù)函數(shù)，使得.對(duì)于，記：.則：.則+=.因?yàn)樵谑强煞e的，故，，使，時(shí)，恒有，又因?yàn)槭菃握{(diào)的集列，并且.從而，.所以，對(duì)于，，使得.15第四章習(xí)題參考

4、解答對(duì)于，取，由連續(xù)擴(kuò)張定理（第10頁(yè)，定理3），存在閉集及上的連續(xù)函數(shù)，使得（i）（ii）(iii)則，從而.(2)再證：，由（1）知，存在上的連續(xù)函數(shù)使得，因?yàn)樵谏弦恢逻B續(xù)，所以使得，時(shí)，恒有，++.因?yàn)闀r(shí)，，有，故.所以.故.15第四章習(xí)題參考解答9.設(shè)是上的非負(fù)可積函數(shù)，是任意常數(shù)，滿足，試證：存在，使得.證明：設(shè)常數(shù)，合于，當(dāng)時(shí)，存在，使得，不妨設(shè).先證：在上連續(xù)，，，因?yàn)椋煞e分的絕對(duì)連續(xù)性（P85，定理4），，，，有.故，，因，，故.所以，.同理，對(duì)于，用上述完全類似方法可得.故，在上連續(xù).又因?yàn)椋ǜ鶕?jù)P89的定義4）.所以，使得.故，由在閉區(qū)間上

5、的介值定理（連續(xù)函數(shù)的介值定理），，使得，有.10.設(shè)是上的可測(cè)函數(shù)，是大于1的數(shù)，2是的共軛輸，即.如果對(duì)任意，都有，試證.11，試證：（i）.15第四章習(xí)題參考解答(ii).證明：（i）時(shí)，（尋找控制函數(shù)）當(dāng)時(shí)：；當(dāng)時(shí)：.令，從而，，且在是可積的，故在是可積的.又因?yàn)?由控制收斂定理，.(ii),定義，并且，.,有.下面證明：，.15第四章習(xí)題參考解答事實(shí)上，，令，，取，則.又記，又因.所以，關(guān)于單調(diào)遞減，且.故，有，即.故在單調(diào)增加，從而，.所以.因此，，..因?yàn)樵谏峡煞e，由控制收斂定理，.12.設(shè)，試證明：在上當(dāng)且僅當(dāng).證明：，，因?yàn)?因?yàn)椋ㄔ谏希?，所?/p>

6、，.故在上，.又因?yàn)?，，且，由有界收斂定理，?15第四章習(xí)題參考解答對(duì)于，因.故，.從而.即.§4.2積分極限定理一．定理（非負(fù)可測(cè)函數(shù)序列的積分與極限可交換性）二．控制收斂定理.定理4（定理的絕對(duì)連續(xù)性定理）若在上可積，則，，：，有.證明：因?yàn)榭煞e，所以可積（只需證：，），.,.又因?yàn)?所以，使.`要找，使，，有.定理5（控制收斂定理）設(shè)（i），是上可測(cè)函數(shù)序列.(ii)存在非負(fù)可積函數(shù)使得，.(iii),.則在上可積，并且15第四章習(xí)題參考解答.基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)Th（P60，定理4）Th（P61，定理5）存在子列控制收斂定理的證明：因?yàn)?，由Th，存在子列.因此

7、，在上可測(cè).又因?yàn)椋?，所以，故在上可積，從而，故在上可積，下證：.（1）先證：時(shí)，有.,,記.則.因?yàn)樵谏峡煞e，由積分的絕對(duì)連續(xù)性，，使，，有.又因?yàn)椋?，時(shí)，有.故.從而.即，.15第四章習(xí)題參考解答（2）再證：時(shí)，也有.,因?yàn)?，所以，?則.因?yàn)椋ㄓ?的證明），所以，有.即，.從而，推論（有界收斂定理）.設(shè)（i）（ii），（常數(shù)）且在上可測(cè)（iii）則在上可積，且.定理6.在上可積在上的間斷點(diǎn)集是一個(gè)零測(cè)集.三．定理.定義1.設(shè)是可測(cè)集，是上的一簇可積函數(shù)，稱是上的積分等度絕對(duì)連續(xù)函數(shù)簇，如果，，，，恒有.基本性質(zhì)：設(shè)是可測(cè)集，是上的一簇可積函數(shù)，則在上

8、是積分等度絕對(duì)連續(xù)的，，