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1、一類非完整系統(tǒng)有限時間鎮(zhèn)定控制 摘要本文研究一類三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的有限時間控制問題。為了使此類非完整系統(tǒng)各狀態(tài)能夠更快收斂至平衡狀態(tài)，本文利用state-scaling和增加冪積分技術(shù)，提出了一種基于切換控制策略的有限時間鎮(zhèn)定控制器，使得非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)在所設(shè)計的有限時間鎮(zhèn)定控制器的作用下，通過有限次切換，系統(tǒng)各狀態(tài)能在有限時間內(nèi)從任意的非平衡位置收斂至平衡點(diǎn)。關(guān)鍵詞非完整系統(tǒng)有限時間控制state-scaling增加冪積分技術(shù)中圖分類號：TP13文獻(xiàn)標(biāo)識碼：AFiniteTimeStabilizationControlofNonholonomicSystemsZHANGYu（Schoo
2、lofMathematics，LiaoningUniversity，Shenyang，Liaoning110036）AbstractThispaperstudiesaclassoffinitetimethree-dimensionalnonholonomicchainedsystemcontrolproblem.Inordertomakeacompletesystemtosuchnon-statefasterconvergencetoequilibrium，weusestate-scalingandincreasingthepowerof6integrationtechnology，wep
3、roposeaswitchingcontrolstrategybasedonthefinitetimestabilizationcontrollermakesnonholonomicchainedsystemsthelimitedtimetheroleofstabilizingcontrollerdesign，finiteswitchingtimes，eachstateofthesystemcanconvergetotheequilibriumpointfromanynon-equilibriumpositionforalimitedtime.Keywordsnonholonomicsys
4、tems；limitedtimecontrol；state-scaling；increasethepowerofintegratingtechnology0引言近幾年來，由于非完整系統(tǒng)運(yùn)用在許多力學(xué)系統(tǒng)的描述中，因此對于非完整系統(tǒng)的控制與鎮(zhèn)定問題的研究受到了廣泛關(guān)注。由Brockett定理可知非完整系統(tǒng)不存在光滑的時不變狀態(tài)反饋控制律。因此，對于非完整系統(tǒng)的控制問題研究的主要困難之一就是不存在光滑甚至連續(xù)的反饋使系統(tǒng)鎮(zhèn)定。所以，尋求新的設(shè)計方法成為備受關(guān)注而又十分困難的課題。6本文針對一類三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)，利用state-scaling和增加冪積分技術(shù)，提出了一種基于切換控制策略的有限時
5、間鎮(zhèn)定控制器，并證明了非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)在所設(shè)計的有限時間鎮(zhèn)定控制器的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)能在有限時間內(nèi)從任意的非平衡位置收斂至平衡點(diǎn)。與文獻(xiàn)【2】中提出的控制器相比，本文提出的有限時間切換控制器能夠更快、更準(zhǔn)地將系統(tǒng)各狀態(tài)鎮(zhèn)定至平衡位置。1問題描述本文下面一類非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)：（1）其中：，，為狀態(tài)變量，，為控制輸入。針對此類系統(tǒng)，設(shè)計切換的狀態(tài)反饋控制器使得系統(tǒng)的狀態(tài)能夠在有限時間內(nèi)收斂至平衡位置。注1：在實際中有很多機(jī)器控制的非完整系統(tǒng)可以通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換轉(zhuǎn)化成本文研究的這種系統(tǒng)，例如，獨(dú)輪自動小車、滾動的圓盤系統(tǒng)、雙輪驅(qū)動的移動機(jī)器人、自動雙輪啟動機(jī)器。定義1[1]：非線性自治系統(tǒng)=（）
6、，（2）是有限時間穩(wěn)定的，是指系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)=0是有限時間收斂的，即存在一個原點(diǎn)的開區(qū)域和一個函數(shù)：
7、{0}→（0，），使得所有系統(tǒng)（2）從初始值出發(fā)的解（，）在[0，（）]內(nèi)是確定唯一的并且（，）=0。這里（）稱為關(guān)于的停息時間。而系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)是有限時間穩(wěn)定的是指它是Lyapunov穩(wěn)定和有限時間收斂。6引理1：對于系統(tǒng)（2），如果存在一個Lyapunov函數(shù)：→和實數(shù)>0，>0且（0，1）與一個關(guān)于原點(diǎn)的開區(qū)域使得（）≤-（），（3）那么，系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)是有限時間穩(wěn)定的。（）≤定理1：在如下切換控制器作用下：（1）當(dāng)
8、
9、+
10、
11、+
12、
13、=0時，（2）當(dāng)
14、
15、≠0，
16、
17、+
18、
19、≠0
20、時，三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)（1）的狀態(tài)在有限時間收斂。證明：情形一：（0）≠0。令。由系統(tǒng)，得。當(dāng)（）=-時，。定義，，=。系統(tǒng)（1）可表示為如下形式：（4）定義（）=，==。對于系統(tǒng)（4），有（5）令并帶入（5），得。選取參數(shù)=1，=，=。令，則有：取，則令，=，則。6根據(jù)引理1，可知系統(tǒng)（4）是有限時間穩(wěn)定的，且令（）=，系統(tǒng)（4）在控制器==[1+（1+）+]的作用下，狀態(tài)，可在有限時間[0，]內(nèi)從非平衡點(diǎn)到達(dá)平衡點(diǎn)。
