空間向量直角坐標(biāo)運(yùn)算.doc

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1、三好高中生（ID：sanhao-youke），為高中生提供名師公開(kāi)課和精品資料。空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算編稿：趙雷審稿：李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解空間向量的基本定理，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．2.掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、夾角公式、距離公式。3.能通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算判斷向量的共線與垂直.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、空間向量的基本定理1.空間向量的基本定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使p=xa+yb+zc．2．基底、基向量概念：由空間向量的基本定理知，若三個(gè)向量a、b、c不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是{p

2、p=xa+yb+zc，x、y

3、、z∈R}，這個(gè)集合可看做是由向量a、b、c生成的，所以我們把{a、b、c}稱(chēng)為空間的一個(gè)基底．a(chǎn)、b、c叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底．要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；（2）由于0可視為與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面，就隱含著它們都不是0；（3）一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．要點(diǎn)二、空間向量的坐標(biāo)表示（1）單位正交基底若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為，這個(gè)基底叫單位正交基底，常用表示；（2）空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)和一

4、個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸．我們稱(chēng)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量都叫坐標(biāo)向量。通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為平面，平面，平面；xyzO（3）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)給定一個(gè)空間直角坐標(biāo)系和向量a，其坐標(biāo)向量為i，j，k，若a=a1i+a2j+a3k，則有序數(shù)組（a1，a2，a3）叫做向量a在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，上式可簡(jiǎn)記作a=（a1，a2，a3）．三好高中生，學(xué)習(xí)方法/提分干貨/精品課程/考試真題，你需要的這里都有！三好高中生（ID：sanhao-youke），為高中生提供名師公開(kāi)課和精品資料。在空間直角坐

5、標(biāo)系Oxyz中，對(duì)于空間任一點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，若，則有序數(shù)組（x，y，z）叫點(diǎn)A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為A（x，y，z），其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫點(diǎn)A的豎坐標(biāo)．寫(xiě)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)之間的順序不可顛倒．要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）空間任一點(diǎn)P的坐標(biāo)的確定．過(guò)P作面xOy的垂線，垂足為P＇，在面xOy中，過(guò)P＇分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A、C，則x=

6、P＇C

7、，y=

8、AP＇

9、，z=

10、PP＇

11、．如圖．（2）空間相等向量的坐標(biāo)是唯一的；另外，零向量記作。要點(diǎn)三、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）空間兩點(diǎn)的距離公式若，，則①即：一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線

12、段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。②，或要點(diǎn)詮釋?zhuān)簝牲c(diǎn)間距離公式是模長(zhǎng)公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標(biāo)表示，然后再用模長(zhǎng)公式推出。（2）向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算若，，則①；②；③；（3）向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算若，，則；即：空間兩個(gè)向量的數(shù)量積等于他們的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。（4）空間向量長(zhǎng)度及兩向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式若，，則①，．三好高中生，學(xué)習(xí)方法/提分干貨/精品課程/考試真題，你需要的這里都有！三好高中生（ID：sanhao-youke），為高中生提供名師公開(kāi)課和精品資料。②．要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：，其中θ的范圍是(2)(3)用此公式求異面直線所成角等

13、角度時(shí)，要注意所求角度與θ的關(guān)系（相等，互余，互補(bǔ)）。（5）空間向量平行和垂直的條件若，，則①，，②規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直作用：證明線線平行、線線垂直.【典型例題】類(lèi)型一、空間向量的坐標(biāo)表示例1．已知ABCD—A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為1的正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試寫(xiě)出A、B、C、D、A1、B1、C1、D1各點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫(xiě)出、、、、、、及的坐標(biāo)表示?！舅悸伏c(diǎn)撥】一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)?！窘馕觥緼（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1）

14、。，，，，，，，。【總結(jié)升華】要求空間某一點(diǎn)M的坐標(biāo)，只要求出以原點(diǎn)O為起點(diǎn)、M為終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)即可．設(shè)i，j，k分別是與x軸、y軸、z軸的正方向模相同的單位坐標(biāo)向量．三好高中生，學(xué)習(xí)方法/提分干貨/精品課程/考試真題，你需要的這里都有！三好高中生（ID：sanhao-youke），為高中生提供名師公開(kāi)課和精品資料。舉一反三：【變式1】已知ABCD—A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為2的正方體，E、F分別為BB1和DC的中點(diǎn)，建