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1、矢量、矢量場和梯度算子2021/10/912021/10/9什么是矢量？2坐標(biāo)變換坐標(biāo)系Oxyz任一點(diǎn)P的坐標(biāo)：坐標(biāo)系Ox’y’z’任一點(diǎn)P的坐標(biāo)：坐標(biāo)變換2021/10/9什么是矢量？3標(biāo)量與矢量的定義定義：如果某個(gè)量在任一坐標(biāo)系中僅需一個(gè)數(shù)（分量）描述，并且在坐標(biāo)變換下其分量是不變的，則稱其為標(biāo)量推論：如果a和b是兩個(gè)標(biāo)量，則a+b和ab也都是標(biāo)量。例子：質(zhì)量m、電荷q、溫度、Newton時(shí)間t，etc.定義：如果某個(gè)量在任一坐標(biāo)系中需三個(gè)數(shù)（分量）描述，并且在坐標(biāo)變換下其分量與坐標(biāo)的變換規(guī)律一樣，則稱其為矢量。即推論：位矢是一個(gè)矢量矢量的表示:2021
2、/10/9矢量運(yùn)算4標(biāo)量與矢量運(yùn)算如何由給定的標(biāo)量和矢量得到新的標(biāo)量和矢量。設(shè)a、b為標(biāo)量，推論:位移、速度、加速度、動(dòng)量等物理量是矢量其分量定義為矢量的線性組合仍然是矢量力為矢量是一個(gè)物理的假設(shè)，而不是數(shù)學(xué)的推論為矢量。數(shù)乘：其分量定義為矢量和：2021/10/9矢量運(yùn)算5標(biāo)量與矢量運(yùn)算(續(xù))推論：動(dòng)能標(biāo)量積：矢量的長度：證明：如果對于任意矢量、功是標(biāo)量是一個(gè)標(biāo)量，則必是某個(gè)矢量的分量。2021/10/9矢量運(yùn)算6標(biāo)量與矢量運(yùn)算(續(xù))矢量積：證明：推論：角動(dòng)量、力矩是（贗）矢量。2021/10/9矢量運(yùn)算7標(biāo)量與矢量運(yùn)算(續(xù))標(biāo)量積的幾何意義：證明：矢量積
3、的幾何意義：大小為，即兩個(gè)矢量張成的平行四邊形的面積，方向滿足右手法則。θ為兩個(gè)矢量之間的夾角：2021/10/9矢量運(yùn)算8單位基矢單位基矢：“完整”的矢量指定了坐標(biāo)系并且給出了矢量分量的含義突出了矢量是坐標(biāo)變換下得不變量單位基矢的變換：2021/10/9矢量運(yùn)算9矢量的混合積的大小為三個(gè)矢量所張成的平行六面體的體積，正負(fù)取決于這三個(gè)矢量是否滿足右手法則確定。2021/10/9什么是場？10標(biāo)量場及其幾何表示標(biāo)量場：標(biāo)量在空間的分布，對于空間任一點(diǎn)都指定或者賦予某個(gè)唯一的標(biāo)量（數(shù)）代數(shù)表示：函數(shù)幾何表示：等值面、等值線-q+q-q+3q-q+q-q+q-q+
4、q-q+q2021/10/9什么是場？11矢量及其幾何表示矢量場：矢量在空間的分布，對于空間任一點(diǎn)都指定或者賦予某個(gè)唯一的矢量代數(shù)表示：函數(shù)幾何表示：箭頭、場線2021/10/9梯度算子12場在空間某個(gè)方向上的變化率在每一點(diǎn)處的數(shù)值都滿足矢量分量的變換規(guī)律φ在方向上的變化率方向?qū)?shù)2021/10/9梯度算子13場在空間某個(gè)方向上的變化率(續(xù))是一個(gè)矢量場的三個(gè)分量梯度算子φ在方向上的方向?qū)?shù)2021/10/9梯度算子14梯度算子梯度算子▽是一個(gè)矢量算子標(biāo)量場梯度是一個(gè)矢量場：矢量場散度是一個(gè)標(biāo)量場：矢量場旋度是一個(gè)矢量場：梯度算子是一個(gè)矢量微分算符：作為矢量
5、，滿足通常矢量點(diǎn)乘和叉乘運(yùn)算法則作為算符，需作用于表達(dá)式中的所有對象2021/10/9梯度算子15與位置有關(guān)的矢量微分公式證明：2021/10/9梯度算子16與梯度算子有關(guān)的一些矢量恒等式2021/10/9梯度算子17關(guān)于梯度算子恒等式的符號(hào)法證明例:用符號(hào)法證明證(1)視?為“算符”，分別作用φ和ψ（加上下標(biāo)以示區(qū)別），得兩項(xiàng)：(2)視?φ矢和?ψ為“矢量”，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對象前方：(3)代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得證畢2021/10/9梯度算子18梯度算子補(bǔ)例:用符號(hào)法證明證(1)視?為“算符”，分別作用φ和（加上下標(biāo)以示區(qū)別），得兩項(xiàng)
6、：(2)視?φ矢和?A為“矢量”，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對象前方：(3)代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得證畢2021/10/9梯度算子19梯度算子補(bǔ)例:用符號(hào)法證明證(1)視?為“算符”，分別作用A和B（加上下標(biāo)以示區(qū)別），得兩項(xiàng)：(2)視?A矢和?B為“矢量”，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對象前方：(3)代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得證畢2021/10/9梯度算子20梯度算子補(bǔ)例:用符號(hào)法證明證(1)視?為“算符”，分別作用A和B（加上下標(biāo)以示區(qū)別），得兩項(xiàng)：(2)視?A矢和?B為“矢量”，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對象前方：(3)代回原式并舍
7、去矢量算符的下標(biāo)得證畢2021/10/9梯度算子21場隨空間的二階變化標(biāo)量場梯度是矢量場：矢量場散度是標(biāo)量場：矢量場旋度是矢量場：Laplace(標(biāo)量)算符是一個(gè)矢量場，其分量為①②③④⑤④2021/10/9梯度算子22場隨空間的二階變化矢量場的旋度是無源（散）場：標(biāo)量場的梯度是無旋場：⑤②③標(biāo)量場梯度是矢量場：矢量場散度是標(biāo)量場：矢量場旋度是矢量場：①②③④⑤
