旋度 散度 梯度.ppt

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1、§0-5二階微分算符格林定理Second-orderDifferenceOperator,Green’sTheorem1、一階微分運(yùn)算(First-orderDifferenceCalculation)將算符直接作用于標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)，即分別得到梯度、散度和旋度，即這些都叫一階微分運(yùn)算。舉例：a)設(shè)為源點(diǎn)與場(chǎng)之間的距離，r的方向規(guī)定為源點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)，試分別對(duì)場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)求r的梯度。第一步：源點(diǎn)固定，r是場(chǎng)點(diǎn)的函數(shù)，對(duì)場(chǎng)點(diǎn)求梯度用r表示，則有而場(chǎng)點(diǎn)（觀察點(diǎn)）源點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)o同理可得：故得到：第二步：場(chǎng)點(diǎn)固定，r是源點(diǎn)的函數(shù)，對(duì)源點(diǎn)求梯度用表示。

2、而同理可得：所以得到：作業(yè):b)設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明證：這是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（梯度），按復(fù)合函數(shù)微分法則，有c)設(shè)求解：而同理可得那么這里同理可得故有由此可見(jiàn)：d)設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明證：e)設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明證：2、二階微分運(yùn)算(CalculationofTwo-orderDifference)將算符作用于梯度、散度和旋度，則稱為二階微分運(yùn)算，設(shè)為標(biāo)量場(chǎng)，為矢量場(chǎng)。并假設(shè)的分量具有所需要的階的連續(xù)微商，則不難得到：（1）標(biāo)量場(chǎng)的梯度必為無(wú)旋場(chǎng)（2）矢量場(chǎng)的旋度必為無(wú)散場(chǎng)（3）無(wú)旋場(chǎng)可

3、表示一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度（4）無(wú)散場(chǎng)可表示一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度（5）標(biāo)量場(chǎng)的梯度的散度為（6）矢量場(chǎng)的旋度的旋度為3、運(yùn)算于乘積(CalculationofMultiplicationwith)（1）（2）（3）（4）（5）(6)根據(jù)常矢運(yùn)算法則則有：故有：(7)根據(jù)常矢運(yùn)算法則：則有（8）因?yàn)楣视袕亩玫剑?、格林定理(Green’stheorem)由Gauss’stheorem得到:將上式交換位置，得到以上兩式相減，得到5、常用幾個(gè)公式設(shè)試求：a)而同理：b)從而可見(jiàn)：c)d)e)f)g)h)Classisover!Thanksyou!G

4、irlsandboys!