概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第五章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征與極限定理.ppt

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1、隨機(jī)變量的數(shù)字特征與極限定理第五章在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在實(shí)際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.第一講數(shù)學(xué)期望因此，在對隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的.這一講，我們先介紹隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望和方差一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1、概念的引入：某車間對工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察.車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.如何定義X的平均值呢？某電話交換臺(tái)

2、每天8:00-9:00收到的呼叫數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.如何定義X的平均值即該交換臺(tái)每天8:00-9:00收到的平均呼叫數(shù)呢？我們來看第一個(gè)問題.若統(tǒng)計(jì)100天,例1某車間對工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察.車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.如何定義X的平均值呢？32天沒有出廢品;30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品;可以得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為這個(gè)數(shù)能否作為X的平均值呢？可以想象，若另外統(tǒng)計(jì)100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會(huì)完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1.27.n0天沒有出

3、廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為(假定小張每天至多出三件廢品)一般來說,若統(tǒng)計(jì)n天,這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均由頻率和概率的關(guān)系不難想到，在求廢品數(shù)X的平均值時(shí)，用概率代替頻率，得平均值為這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個(gè)確定的數(shù).我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量X的平均值.這樣做是否合理呢？我們采用計(jì)算機(jī)模擬.不妨把小張生產(chǎn)中出廢品的情形用一個(gè)球箱模型來描述:22300031112200033111有一個(gè)箱子，里面裝有10個(gè)大小，形狀完全相同的球，號(hào)碼如圖.規(guī)定從箱中任意取出一個(gè)球，記下球上的號(hào)碼，然后把球

4、放回箱中為一次試驗(yàn).記X為所取出的球的號(hào)碼(對應(yīng)廢品數(shù)).X為隨機(jī)變量，X的概率分布列為下面我們用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬試驗(yàn).2230003111X0123P0.30.30.20.2輸入試驗(yàn)次數(shù)(即天數(shù))n,計(jì)算機(jī)對小張的生產(chǎn)情況進(jìn)行模擬,統(tǒng)計(jì)他不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)n0,n1,n2,n3,并計(jì)算與進(jìn)行比較.下面我們一起來看計(jì)算機(jī)模擬的結(jié)果.2230003111請看演示隨機(jī)變量均值的確定則對X作一系列觀察(試驗(yàn))，所得X的試驗(yàn)值的平均值也是隨機(jī)的.由此引入離散型r.vX的數(shù)學(xué)期望的定義如下:對于一個(gè)隨機(jī)變量，若它可能取的值是X1,X2,…,相應(yīng)的概率為p1,p2,…

5、,但是，如果試驗(yàn)次數(shù)很大，出現(xiàn)Xk的頻率會(huì)接近于pk，于是可期望試驗(yàn)值的平均值接近定義1設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的概率分布列是:P(X=Xk)=pk,k=1,2,…也就是說,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對收斂的級(jí)數(shù)的和.如果有限,定義X的數(shù)學(xué)期望如果發(fā)散，則X的數(shù)學(xué)期望不存在。EX的物理意義：表示一維離散質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo)例2某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門.若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時(shí)試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解:設(shè)試開次數(shù)為X,P(X=k)=1/n,k=1,2,…,nE(X)于是例3(0－1分布)設(shè)X的分

6、布列為X01P1－pp求EX解:EX＝0×(1－p)＋1×p＝p例4．（泊松分布）設(shè)X的分布列為求EX。解:二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0

7、如果有限,定義X的數(shù)學(xué)期望為也就是說,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對收斂的積分.EX物理意義：以f(x)為密度的一維連續(xù)質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo)。例5．（均勻分布）設(shè)X的概率密度為求EX解:例6．（指數(shù)分布）設(shè)X的概率密度為求EX解:例7．（正態(tài)分布）設(shè)求EX解:例8．（柯西分布）設(shè)X的概率密度為求EX解:故EX不存在。若X~U[a,b],即X服從[a,b]上的均勻分布,則若X服從若X服從參數(shù)為由隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，不難計(jì)算得：若X~B(1,P)則EX=P若X~E(λ)則若X服從幾何分布，則這意味著，若從該地區(qū)抽查