概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

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1、第五章隨機(jī)變量的數(shù)字特征概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方差和標(biāo)準(zhǔn)差2協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)和矩3數(shù)學(xué)期望1第五章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié)數(shù)學(xué)期望12數(shù)學(xué)期望概念數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)一、數(shù)學(xué)期望概念定義1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為其中，若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望(Mathematicalexpectation)，記為E(X).即E(X)=，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱為均值.一、數(shù)學(xué)期望概念例1甲、乙兩人進(jìn)行射擊，所得分?jǐn)?shù)分別記為，，它們的分布律分別為試評(píng)定他們的成績(jī)的好壞.一、數(shù)學(xué)期望概念解很明顯，乙的成績(jī)不如甲的成績(jī).一、數(shù)學(xué)期望概念定義2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，若

2、積分絕對(duì)收斂，則稱積分的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X).即一、數(shù)學(xué)期望概念例2設(shè)X有分布律求一、數(shù)學(xué)期望概念解：一、數(shù)學(xué)期望概念例3設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求的數(shù)學(xué)期望.解：一、數(shù)學(xué)期望概念例4設(shè)(X,Y)服從A上的均勻分布，其中A為由x軸、y軸及直線x+y=1圍成的平面三角形區(qū)域，求E(3X+Y)解：，則二、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.設(shè)c是常數(shù)，則有E(c)=c.2.設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，c是常數(shù)，則有E(cX)=cE(X)3.設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有E(X+Y)=E(X)+E(Y).4.設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有E(XY)=E(X)E(Y)二、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)例

3、5一客車(chē)載有20位乘客，途經(jīng)10個(gè)車(chē)站，車(chē)上乘客只下不上.如到達(dá)一個(gè)車(chē)站沒(méi)有乘客下車(chē)就不停車(chē).設(shè)X為停車(chē)的次數(shù)，求E(X)（設(shè)每位乘客在各個(gè)車(chē)站下車(chē)是等可能的，并設(shè)各乘客是否下車(chē)相互獨(dú)立）。解：設(shè)第二節(jié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差12方差常見(jiàn)分布的方差3方差的性質(zhì)一、方差定義3設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若存在，則稱為X的方差（Variance），記為D(X)或Var(X)，即==在實(shí)際應(yīng)用中，為了與的單位一致，又引入了，記為，稱為標(biāo)準(zhǔn)差(Standarddeviation)或均方差(Meansquaredeviation).一、方差例5證明證由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)得二、常見(jiàn)分布的方差……三、方差的性質(zhì)1.

4、設(shè)c是常數(shù)，則有D(c)=0.2.設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，c是常數(shù)，則有3.設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有特別地，若X,Y相互獨(dú)立，則有第三節(jié)協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)和矩12協(xié)方差概念協(xié)方差性質(zhì)34相關(guān)系數(shù)矩(Moment)一、協(xié)方差概念定義4稱為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差(Covariance)，記為即將的定義式展開(kāi)，可得二、協(xié)方差性質(zhì)1.2.3.4.5.三、相關(guān)系數(shù)定義5稱為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)（Correlationcoefficient），或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差（StandardCovariance)。三、相關(guān)系數(shù)例7設(shè)(X,Y)的分布律為求三、相關(guān)系數(shù)解三、相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是一個(gè)無(wú)量綱的量，

5、有如下性質(zhì)：1.；2.當(dāng)時(shí)，稱X和Y不相關(guān)；3.當(dāng)時(shí)，稱X和Y完全相關(guān)，其充要條件為：存在常數(shù)使得三、相關(guān)系數(shù)上述性質(zhì)說(shuō)明X與Y的相關(guān)系數(shù)是衡量X與Y之間線性相關(guān)程度的量。當(dāng)時(shí)，Y隨X的增大而線性地增大，此時(shí)稱X與Y線性正相關(guān)（Positivecorrelation）;當(dāng)時(shí)，Y隨X的增大而線性地減小，此時(shí)稱X與Y線性負(fù)相關(guān)（Negativecorrelation）.當(dāng)時(shí)，X與Y之間就不存在線性關(guān)系，此時(shí)稱X與Y不相關(guān)（Uncorrelated）。四、矩(Moment)定義6設(shè)X是隨機(jī)變量，若存在，稱它為X的k階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱k階矩。若存在，稱它為X的k階中心距。Thankyou