波利亞的解題理論.ppt

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1、波利亞解題理論沒有一道題可以解決得十全十美，總存在值得我們探究的地方?！猍美]G.波利亞*波利亞的生平*波利亞的數(shù)學(xué)教育觀*波利亞關(guān)于解題的研究美國著名數(shù)學(xué)家、教育家。出生于匈牙利的布達(dá)佩斯。早在中學(xué)時(shí)代，就顯示出卓越的數(shù)學(xué)才能，曾先后在布達(dá)佩斯、維也納、哥廷根、巴黎等地攻讀數(shù)學(xué)、物理學(xué)和哲學(xué)。1912年在布達(dá)佩斯獲約特沃斯·洛倫得大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位。1914年，在蘇黎世瑞士聯(lián)邦理工學(xué)院任教,1928年任教授，1938年任數(shù)理學(xué)院院長。1940年移居美國，先在布朗大學(xué)任教。1942年后一直在斯坦福大學(xué)任教。1953年起，任該校退休教授。波利亞的重要數(shù)學(xué)著作有《怎樣解題》、《不等式》(與哈

2、代、李特伍德合著)、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》多卷、《數(shù)學(xué)與猜想》多卷、《數(shù)學(xué)分析中的問題和定理》(與塞格合著)、《數(shù)學(xué)物理中的等周不等式》(與塞格合著)等。波利亞在眾多的數(shù)學(xué)分支：函數(shù)論、變分學(xué)、概率論、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)以及計(jì)算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都頗有建樹，共發(fā)表200多篇著名論文，以他的名字命名的波利亞計(jì)數(shù)定理則是近代組合數(shù)學(xué)的重要工具。波利亞還是杰出的數(shù)學(xué)教育家，他對數(shù)學(xué)思維一般規(guī)律的研究，堪稱是對人類思想寶庫的特殊貢獻(xiàn)。為了表彰波利亞對數(shù)學(xué)的杰出貢獻(xiàn)，1963年美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)授予他以功勛獎(jiǎng)(DistinguishedServicesAward),1968年美國教育電影圖書協(xié)會(huì)授予他以數(shù)學(xué)物理最

3、高榮譽(yù)獎(jiǎng)(TopHonorofMathematicsandPhysics)。他并先后當(dāng)選為美國國家科學(xué)院院士和法國科學(xué)院通訊院士等。一、波利亞的數(shù)學(xué)教育觀1、中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的：“教會(huì)學(xué)生思考”；2、教師教學(xué)應(yīng)遵循學(xué)習(xí)過程的三個(gè)原則：主動(dòng)學(xué)習(xí)：“學(xué)東西的最好方式是發(fā)現(xiàn)它”最佳動(dòng)機(jī)：對所學(xué)知識(shí)的興趣循序漸進(jìn)：探索，闡明，吸收3、數(shù)學(xué)教師具備兩方面的知識(shí)：數(shù)學(xué)內(nèi)容知識(shí)；數(shù)學(xué)教學(xué)法知識(shí)；一、波利亞的數(shù)學(xué)教育觀4、給數(shù)學(xué)教師的十條建議：1.要對所講的課題有興趣;2.要懂得所講的課題;3.要懂得學(xué)習(xí)的途徑—發(fā)現(xiàn);4.要觀察學(xué)生的臉色,弄清他們的期望和困難,置身于他們之中;5.不僅要傳授知識(shí),而

4、且要教給學(xué)生才智,思維的方式和工作習(xí)慣;6.要讓他們學(xué)習(xí)猜測;7.要讓他們學(xué)習(xí)證明;8.要找出手邊題目中那些對后來題目有用的特征;9.不要立即吐露你的全部秘密—讓學(xué)生在你說出來之前先去猜,盡量讓他們自己找出來;10.要建議,不要強(qiáng)迫別人去接受.二、波利亞關(guān)于解題的研究解題過程分為以下四個(gè)階段:1.弄清問題2.擬訂計(jì)劃3.實(shí)現(xiàn)計(jì)劃4.回顧1、弄清問題（1）未知數(shù)是什么?已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知數(shù),條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?（2）畫張圖,并引入適當(dāng)?shù)姆?hào).（3）把條件的各部分分開,并把它們寫下來.2、擬定計(jì)劃（1）考慮以前是否

5、見過它?是否見過相同的問題而形式稍有不同?你是否知道一個(gè)可能用得上的定理?（2）考慮具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題.（3）能否利用它的結(jié)果或方法?為了利用它,是否引入某些輔助元素?（4）能否用不同的方法重新敘述它?（5）回到定義去.（6）如果你不能解決所提出的問題,可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問題.（7）是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?是否利用了所有條件？是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念?3.實(shí)現(xiàn)計(jì)劃（1）實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃,檢驗(yàn)每一步驟.（2）你能否清楚地看出這一步驟是正確的?你能否證明這一步驟是正確的?4、回顧（1）能否檢驗(yàn)這個(gè)論證?（2）你能否用別的方法導(dǎo)出結(jié)果?（3）能不能一下子

6、看出它來?（4）能不能把這結(jié)果或方法用于其他問題?例在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c且c=10，cosA/cosB=b/a=4/3，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)切圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離的平方和的最小值和最大值．解題過程：第1弄清問題條件(已知)：(1)c=10；(2)cosA/cosB=b/a=4/3；(3)點(diǎn)P為△ABC內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)．問題(未知)：求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離的平方和的最小值和最大值．第2擬訂計(jì)劃回憶原來有沒有見過同類問題(沒有)，但見過相關(guān)的問題：(1)已知三角形的某些邊角關(guān)系，判斷三角形的形狀、解三角形等(知三求一，已知的三個(gè)邊角元素

7、中至少有一個(gè)是邊)，題目基本符合．(2)如果三角形可以確定，那么此題就是求這個(gè)三角形的某個(gè)特征曲線上的動(dòng)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和的最值問題．第4回顧（1）在方法上，本題是使用“解析法”解決三角問題的一個(gè)成功案例.（2）在數(shù)學(xué)思想上，本題是數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的一個(gè)成功應(yīng)用.（3）在基礎(chǔ)知識(shí)的使用上，本題主要用到了“余弦定理”、“勾股定理”、“參數(shù)方程”和“三角函數(shù)的性質(zhì)”等.波利亞解題過程的四個(gè)階段:1.弄清問題——認(rèn)識(shí)、并對問題進(jìn)行