波利亞解題理論

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1、波利亞的怎樣解題表陜西師范大學(xué)羅增儒羅新兵?。豹讨巍げɡ麃啰ァ讨巍げɡ麃?GeorgePolya，1887～1985)是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家．在解題方面，是數(shù)學(xué)啟發(fā)法(指關(guān)于發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，亦譯為探索法)現(xiàn)代研究的先驅(qū)．由于他在數(shù)學(xué)教育方面取得的成就和對(duì)世界數(shù)學(xué)教育所產(chǎn)生的影響，在他93歲高齡時(shí)，還被ＩＣＭＥ（國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)）聘為名譽(yù)主席．作為一個(gè)數(shù)學(xué)家，波利亞在函數(shù)論、變分法、概率、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算和應(yīng)用數(shù)學(xué)等眾多領(lǐng)域，都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，留下了以“波利亞”命名的定理或術(shù)語(yǔ)；他與其他數(shù)學(xué)家合著的《數(shù)學(xué)分析中的問(wèn)題和定理》、《不等式》、《數(shù)

2、學(xué)物理中的等周問(wèn)題》、《復(fù)變量》等書堪稱經(jīng)典；而以200多篇論文構(gòu)成的四大卷文集，在未來(lái)的許多年里，將是研究生攻讀的內(nèi)容．作為一個(gè)數(shù)學(xué)教育家，波利亞的主要貢獻(xiàn)集中體現(xiàn)在《怎樣解題》(1945年)、《數(shù)學(xué)與似真推理》(1954年)、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》(1962年)三部世界名著上，涉及“解題理論”、“解題教學(xué)”、“教師培訓(xùn)”三個(gè)領(lǐng)域．波利亞對(duì)數(shù)學(xué)解題理論的建設(shè)主要是通過(guò)“怎樣解題”表來(lái)實(shí)現(xiàn)的，而在爾后的著作中有所發(fā)展，也在“解題講習(xí)班”中對(duì)教師現(xiàn)身說(shuō)法．他的著作把傳統(tǒng)的單純解題發(fā)展為通過(guò)解題獲得新知識(shí)和新技能的學(xué)習(xí)過(guò)程，他的目標(biāo)不是找出可以機(jī)械地用于解決一切問(wèn)題的“萬(wàn)能方法”

3、，而是希望通過(guò)對(duì)于解題過(guò)程的深入分析，特別是由已有的成功實(shí)踐，總結(jié)出一般的方法或模式，使得在以后的解題中可以起到啟發(fā)的作用．他所總結(jié)的模式和方法，包括笛卡兒模式、遞歸模式、疊加模式、分解與組合方法、一般化與特殊化方法、從后往前推、設(shè)立次目標(biāo)、歸納與類比、考慮相關(guān)輔助問(wèn)題、對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變形等，都在解題中行之有效．尤其有特色的是，他將上述的模式與方法設(shè)計(jì)在一張解題表中，并通過(guò)一系列的問(wèn)句或建議表達(dá)出來(lái)，使得更有啟發(fā)意義．著名數(shù)學(xué)家互爾登在瑞士蘇黎世大學(xué)的會(huì)議致詞中說(shuō)過(guò)：“每個(gè)大學(xué)生、每個(gè)學(xué)者、特別是每個(gè)教師都應(yīng)該讀這本引人入勝的書”(1952年2月2日)．２怎樣解題表

4、波利亞是圍繞“怎樣解題”、“怎樣學(xué)會(huì)解題”來(lái)開展數(shù)學(xué)啟發(fā)法研究的，這首先表明其對(duì)“問(wèn)題解決”重要性的突出強(qiáng)調(diào)，同時(shí)也表明其對(duì)“問(wèn)題解決”研究興趣集中在啟發(fā)法上．波利亞在風(fēng)靡世界的《怎樣解題》（被譯成14種文字）一書中給出的“怎樣解題表”，正是一部“啟發(fā)法小詞典”．２．１“怎樣解題”表的呈現(xiàn)弄清問(wèn)題第一，你必須弄清問(wèn)題未知是什么?已知是什么?條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知，條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào)．把條件的各個(gè)部分分開．你能否把它們寫下來(lái)?擬定計(jì)劃第二，找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系

5、．如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題．你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃你以前見過(guò)它嗎?你是否見過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同?你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題?你是否知道一個(gè)可能用得上的定理?看著未知數(shù)，試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題．這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān)，且早已解決的問(wèn)題．你能不能利用它?你能利用它的結(jié)果嗎?你能利用它的方法嗎?為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素?你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題?你能不能用不同的方法重新敘述它?回到定義去．如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題．你能不能想出一個(gè)更容

6、易著手的有關(guān)問(wèn)題?一個(gè)更普遍的問(wèn)題?一個(gè)更特殊的問(wèn)題?一個(gè)類比的問(wèn)題?你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分?僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分．這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度?它會(huì)怎樣變化?你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西?你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)?如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近?你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?你是否利用了整個(gè)條件?你是否考慮了包含在問(wèn)題中的必要的概念?實(shí)現(xiàn)計(jì)劃第三，實(shí)行你的計(jì)劃實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟．你能否清楚地看出這一步驟是正確的?你能否證明這一步驟是正確的?回

7、顧第四，驗(yàn)算所得到的解．你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證?你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果?你能不能一下子看出它來(lái)?你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問(wèn)題?下面是實(shí)踐波利亞解題表的一個(gè)示例，能夠展示波利亞解題風(fēng)格的心路歷程，娓娓道來(lái)，栩栩如生．２．２“怎樣解題”表的實(shí)踐例1給定正四棱臺(tái)的高h(yuǎn)，上底的一條邊長(zhǎng)a和下底的一條邊長(zhǎng)b，求正四棱臺(tái)的體積F．(學(xué)生已學(xué)過(guò)棱柱、棱錐的體積)講解第一，弄清問(wèn)題．問(wèn)題1．你要求解的是什么?要求解的是幾何體的體積，在思維中的位置用一個(gè)單點(diǎn)F象征性地表示出來(lái)(圖1)．問(wèn)題