波利亞解題實例.doc

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1、用波利亞的解題方法解題在△ABC中，所對的邊分別是，且為內(nèi)切圓上的動點.求點到頂點的距離的平方和的最小值與最大值?！　　痉治觥浚旱谝徊剑豪斫忸}意?！”绢}的條件是(i)c=10,(ii)(iii)P是內(nèi)切圓上的動點，所求的結論是要求出P點到A，B，C三頂點的距離的平方和的最值?！　∮纱丝傻?，這是一道關于圖形的最值問題?！〉诙剑簲M訂計劃．　　設想以前未曾遇到過這個問題，但曾見過也解過與此密切相關的兩類問題：　　　第一，已知三角形某些邊角之間的數(shù)量關系，要求判斷這三角形的形狀或解出它?！　　〉诙?，在一確定的

2、三角形中的某曲線上有一動點，求這點到三角形頂點或三邊的距離和平方和的最小值。　于是原問題可分列為兩個較為簡單的問題：①a，b，c為的三邊，且c=10，，試確定△ABC的形狀及其大小?！、诖_定的的內(nèi)切圓上有一動點P，試求PA2+PB2+PC2的最小值與最大值。　　　對①小題，已具備了三個條件式，這類問題據(jù)以前的經(jīng)驗，只要對數(shù)式進行適當?shù)耐扑?，三角形不難解出來．對于②小題，在確定了三角形的形狀大小以后，因涉及內(nèi)切圓上一個動點，擬引入直角坐標系，即能利用解析法列出目標函數(shù)，其最值也可用一般的代數(shù)三角方法順利求

3、出。至此，一個比較完整的解題計劃可以說是擬定了。　第三步：實現(xiàn)計劃：　　由用正弦定理做代換，得　　即或，　因為知，且是三角形內(nèi)角，　　所以即　　所以是直角三角形.　　再由c=10，及，可解得a=6,b=8.　　如圖1，建立直角坐標系，使直角△ABC的三個頂點　為A（8，0），B（0，6），C（0，0）.在直角中，有　　所以，內(nèi)切圓的圓心為方程為.　　設圓上的任一點為P（x,y）,則有　　S=　　　　　　　因P是內(nèi)切圓上的點，故o≤z≤4，于是當z=4時，有最小值72，當x=o時，有最大值88?！　〉谒牟?/p>

4、：回顧討論．　　對于上面解題過程的運算檢驗無誤后可考慮：　x=O時，P點運動到BC上的M，此時的所求平方和最大值為88；當x=4時，P點運動到過M的直徑的另一端點N，此時得所求平方和最小值為72．　　此外，能否用別的方法來導出結果呢?對第①小題也可一開始用余弦定理作代換，對第②小題除選擇不同的位置建立坐標系外，圓上的動點P也可以利用參數(shù)式表示，于是有好幾種解法(略)．　　　本題雖然是一道不復雜的綜合題，但善于解題的人也會從中獲得一些有益的經(jīng)驗．　(1)如果本題前部分不用正弦或余弦定理作代換，后半部分不使

5、用解析法，雖仍能設法確定三角形并推導出目標函數(shù)，但解題過程的繁雜呈度明顯上升．這說明，對于同樣的素材(題設條件)，選用不同的加工方法(解題方法)，其繁簡程度是有顯著區(qū)別的．　　　(2)從上題的解答中，我們可以認識到圖形中的最值常在動點位于某些特殊位置時產(chǎn)生．　　　(3)數(shù)形結合，會使計算大為簡化，并且可能揭露問題.