專題8：幾何最值問題解法探討.doc

《專題8：幾何最值問題解法探討.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在應用文檔-天天文庫。

1、【2013年中考攻略】專題8：幾何最值問題解法探討錦元數(shù)學工作室編輯在平面幾何的動態(tài)問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。解決平面幾何最值問題的常用的方法有：（1）應用兩點間線段最短的公理（含應用三角形的三邊關系）求最值；（2）應用垂線段最短的性質求最值；（3）應用軸對稱的性質求最值；（4）應用二次函數(shù)求最值；（5）應用其它知識求最值。下面通過近年全國各地中考的實例探討其解法。一、應用兩點間線段最短的公理（含應用三角形的三邊關系）求最值

2、：典型例題：【版權歸錦元數(shù)學工作室，不得轉載】例1.（2012山東濟南3分）如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為【】A．　　　B．　　　C．5　　　D．【答案】A?！究键c】矩形的性質，直角三角形斜邊上的中線性質，三角形三邊關系，勾股定理。【分析】如圖，取AB的中點E，連接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴當O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，此時，∵AB=2，BC=

3、1，∴OE=AE=AB=1。DE=，∴OD的最大值為：。故選A。例2.（2012湖北鄂州3分）在銳角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是▲。[【答案】4?！究键c】最短路線問題，全等三角形的判定和性質，三角形三邊關系，垂直線段的性質，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，在BA上截取BE=BN，連接EM。∵∠ABC的平分線交AC于點D，∴∠EBM=∠NBM。在△AME與△AMN中，∵BE=BN，∠EBM=∠NBM，BM=BM，∴△BME≌△BMN（SA

4、S）?！郙E=MN?！郈M+MN=CM+ME≥CE。又∵CM+MN有最小值，∴當CE是點C到直線AB的距離時，CE取最小值?！連C=，∠ABC=45°，∴CE的最小值為sin450=4?！郈M+MN的最小值是4。例3.（2011四川涼山5分）如圖，圓柱底面半徑為，高為，點A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側面繞3圈到B，求棉線最短為▲?！敬鸢浮??！究键c】圓柱的展開，勾股定理，平行四邊形的性質。【分析】如圖，圓柱展開后可見，棉線最短是三條斜線，第一條斜線與底面圓周長、高組成直角三角形。由周長公式，底面

5、圓周長為，高為，根據(jù)勾股定理，得斜線長為，根據(jù)平行四邊形的性質，棉線最短為。例4.（2012四川眉山3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是▲．【答案】1＜AD＜4?！究键c】全等三角形的判定和性質，三角形三邊關系。【分析】延長AD至E，使DE=AD，連接CE．根據(jù)SAS證明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根據(jù)三角形的三邊關系即可求解：延長AD至E，使DE=AD，連接CE?！連D=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。∴CE=AB。在△ACE中，CE－AC＜AE＜CE

6、＋AC，即2＜2AD＜8?！?＜AD＜4。練習題：1.（2011湖北荊門3分）如圖，長方體的底面邊長分別為2和4，高為5.若一只螞蟻從P點開始經過4個側面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為【】A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm2.（2011四川廣安3分）如圖，圓柱的底面周長為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點P是母線BC上一點，且PC=BC．一只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點P的最短距離是【】A、㎝B、5cmC、㎝D、7cm3.（2011廣西貴港2分）如圖所示，在邊長為2的正三角形ABC中，E、F、G

7、分別為AB、AC、BC的中點，點P為線段EF上一個動點，連接BP、GP，則△BPG的周長的最小值是_▲．二、應用垂線段最短的性質求最值：典型例題：【版權歸錦元數(shù)學工作室，不得轉載】例1.（2012山東萊蕪4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若點P在邊AC上移動，則BP的最小值是▲．【答案】?！究键c】動點問題，垂直線段的性質，勾股定理。【分析】如圖，根據(jù)垂直線段最短的性質，當BP′⊥AC時，BP取得最小值。設AP′=x，則由AB＝AC＝5得CP′=5－x，又∵BC＝6，∴在Rt△ABP′和Rt△CBP′中應用勾股定理，得。∴，即，解

8、得?！啵碆P的最小值是。例2.（2012浙江臺州4分）如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為