幾何最值問題解法探討

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1、幾何最值問題解法探討在平面幾何的動(dòng)態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長(zhǎng)度、圖形的周長(zhǎng)或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。解決平面幾何最值問題的常用的方法有：（1）應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值；（2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值；（4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值；（5）應(yīng)用其它知識(shí)求最值。下面通過近年全國(guó)各地中考的實(shí)例探討其解法。一、應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值：典型例題：例1.（2012山東濟(jì)南3分）如圖，∠MON=90°，矩

2、形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為【】A．　　　B．　　　C．5　　　D．【答案】A?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴當(dāng)O、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，此時(shí)，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1。DE=，∴OD的最大值為：。故選A。例2.（2012湖北鄂州3分）在銳角三角形ABC中，BC=

3、，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是▲?！敬鸢浮??！究键c(diǎn)】最短路線問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，在BA上截取BE=BN，連接EM?！摺螦BC的平分線交AC于點(diǎn)D，∴∠EBM=∠NBM。在△AME與△AMN中，∵BE=BN，∠EBM=∠NBM，BM=BM，∴△BME≌△BMN（SAS）。∴ME=MN。∴CM+MN=CM+ME≥CE。又∵CM+MN有最小值，∴當(dāng)CE是點(diǎn)C到直線AB的距離時(shí)，CE取最小值。∵BC=，∠ABC=

4、45°，∴CE的最小值為sin450=4?！郈M+MN的最小值是4。例3.（2011四川涼山5分）如圖，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B，求棉線最短為▲。【答案】。【考點(diǎn)】圓柱的展開，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)。【分析】如圖，圓柱展開后可見，棉線最短是三條斜線，第一條斜線與底面圓周長(zhǎng)、高組成直角三角形。由周長(zhǎng)公式，底面圓周長(zhǎng)為，高為，根據(jù)勾股定理，得斜線長(zhǎng)為，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，棉線最短為。例4.（2012四川眉山3分）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC邊上的中線，則

5、AD的取值范圍是▲．【答案】1＜AD＜4。【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系?！痉治觥垦娱L(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接CE．根據(jù)SAS證明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接CE。∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）?！郈E=AB。在△ACE中，CE－AC＜AE＜CE＋AC，即2＜2AD＜8?！?＜AD＜4。練習(xí)題：1.（2011湖北荊門3分）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2和4，高為5.若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的

6、最短路徑長(zhǎng)為【】A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm2.（2011四川廣安3分）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點(diǎn)P是母線BC上一點(diǎn)，且PC=BC．一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是【】A、㎝B、5cmC、㎝D、7cm3.（2011廣西貴港2分）如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP、GP，則△BPG的周長(zhǎng)的最小值是_▲．二、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值：典型例題：例1.（2012山東萊蕪4分）在△ABC中，AB＝AC＝5

7、，BC＝6．若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，則BP的最小值是▲．【答案】?！究键c(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題，垂直線段的性質(zhì)，勾股定理。【分析】如圖，根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當(dāng)BP′⊥AC時(shí)，BP取得最小值。設(shè)AP′=x，則由AB＝AC＝5得CP′=5－x，又∵BC＝6，∴在Rt△ABP′和Rt△CBP′中應(yīng)用勾股定理，得。∴，即，解得?！?，即BP的最小值是。例2.（2012浙江臺(tái)州4分）如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為【】　A．1B．C．2D．＋1【答案】B?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，

8、三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，矩形的