_中考數(shù)學(xué)--幾何最值問題解法探討.doc

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1、幾何最值問題解法探討在平面幾何的動(dòng)態(tài)問題屮，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長(zhǎng)度、圖形的周長(zhǎng)或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。解決平面兒何最值問題的常用的方法有：（1）應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值；（2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值；（4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值；（5）應(yīng)用其它知識(shí)求最值。一、應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值:典型例題：例1.（2012山東濟(jì)南3分）如圖，ZM0N=90°,矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊0M,0N上，當(dāng)B在邊0N上運(yùn)動(dòng)吋，A隨之在邊

2、0M上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其AB=2,BC=1,運(yùn)動(dòng)過程屮，點(diǎn)D到點(diǎn)0的最大距離為【】A.V2+1B.V5例2.（2012湖北鄂州3分）在銳角三角形ABC屮，BC=4血，ZABC=45°,BD平分ZABC,M、4分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，貝ijCM+MN的最小值是。A例3、己矢口A（l,5）,B（3,-1）兩點(diǎn)，在x軸上取一點(diǎn)M,使AM-BM取得最大值時(shí),則M的坐標(biāo)為（）練習(xí)題：1.（2011廣西貴港2分）如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC'P，E、F、G分別為AB、AC、BC的屮點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP.GP,則厶冊(cè)侖的周長(zhǎng)的最小值是▲?2、（2012四川眉山3

3、分）在厶ABC中，AB=5,AC=3,AD是BC邊上的中線,則AD的取值范囤是.二、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值:典型例題:例4?（2012浙江臺(tái)州4分）如圖，菱形ABCD'P，AB=2,ZA=120°，點(diǎn)P,Q,K分別為線段A.1B.5/3BC,CD,BD上的任意一點(diǎn),例5?（2012四川廣元3分）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,0）,點(diǎn)B在直線y=x丄運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短吋，點(diǎn)B的坐標(biāo)為【】A.(0,0)例6?（2012浙江寧波3分）如圖，△ABC屮，ZBAC=60°,ZABC=45°,AB二2血，D是線段BC丄的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫00分別交AB,AC于E,F,連接EF,則線段EF長(zhǎng)度的最小

4、值為.練習(xí)題：1.（2011浙江衢州3分）如圖，0P平分ZMON,PA丄0N于點(diǎn)A,點(diǎn)Q是射線0M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA=2,則PQ的最小值為【】A、1B、2C、3D、42.（2011四川南充8分）如圖,等腰梯形ABCD中,AD〃BC,AD=AB=CD=2,ZC=60°,M是BC的中點(diǎn).（1）求證：AMDC是等邊三角形；（2）將AMDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn),當(dāng)MD（即MD‘）與AB交于一點(diǎn)E,MC（即MC'）同時(shí)與AD交于一點(diǎn)F吋，點(diǎn)E,F和點(diǎn)A構(gòu)成△AEF.試探究AAEF的周長(zhǎng)是否存在最小值.如果不存在,請(qǐng)說明理由；如果存在，請(qǐng)計(jì)算出AAEF周長(zhǎng)的最小值.5.（2011云南昆明12分）如圖，在RtAAB

5、C中,ZC=90°,AB=10cm,AC：BC=4：3,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s,同吋點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B-C-A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s,當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)吋，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).（4）當(dāng)x=5秒時(shí)，在直線PQ上是否存在一?點(diǎn)M,使ABCM得周長(zhǎng)最小，若存在，求出最小周長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由.C三、應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值:典型例題:例7?（2012四川攀枝花4分）如圖，正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為例8.(2012廣西貴港2分)如圖，MN為O0的直徑，A、B是0上的兩點(diǎn)，過A作AC丄M

6、N于點(diǎn)C,過B作BD丄MN于點(diǎn)D,P為DC上的任意一點(diǎn)，若MN=20,AC=8,BD=6,則PA+PB的最小值是例9.(2012湖北十堰6分)閱讀材料：例：說明代數(shù)式Q77+J(x一纖+4的幾何意義，并求它的最小值.(1)代數(shù)式J(x-1)?+1+J(x-2尸+9的值可以看成平面直角坐標(biāo)系屮點(diǎn)P(x,0)與點(diǎn)A(1,1)、點(diǎn)B的距離之和.(填寫點(diǎn)B的坐標(biāo))(2)代數(shù)式3+49+Jx?-12x+37的最小值為.練習(xí)題:(2011龍江大慶3分)如圖,已知點(diǎn)A(l,1)、B(3,2),且P為x軸上一動(dòng)點(diǎn),RIJAABP的周長(zhǎng)的最小值為2.(2011遼寧營(yíng)口3分)如圖，在平而直角坐標(biāo)系屮，有A(l,2

7、),B(3,3)兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C(a,1),當(dāng)8=時(shí)，AC+BC的值最小.3.(2011甘肅天水4分)如圖，在梯形ABCD屮，AB//CD,ZBAD=90°,AB二6,對(duì)角線AC平分ZBAD,點(diǎn)E在AB上，且AE二2(AEVAD),點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值是▲?四、應(yīng)用二次函數(shù)求最值：典型例例10.(2012四川自貢4分)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為lcm,M、N分別是BC?CD上兩個(gè)