幾何最值問題解法探討.doc

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1、幾何最值問題解法探討在平面幾何的動態(tài)問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。解決平面幾何最值問題的常用的方法有：（1）應(yīng)用兩點間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值；（2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值；（4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值；（5）應(yīng)用其它知識求最值。下面通過實例探討其解法。例1.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是．【答案】1＜AD＜4。【考點】全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系。例2.如圖，E，F(xiàn)是正方形

2、ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE＝DF．連接CF交BD于G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是．答案：解析：例3.如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為．【答案】。【考點】垂線段的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。例4.如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BC．CD上滑動，且E、F不與B．C．D重合．當點E、F在BC．C

3、D上滑動時，分別探討△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最小）值．△CEF的面積的最大值是。【考點】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂直線段的性質(zhì)。例5.在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一點（P與B、C不重合），過點P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD于點E.連接AE，若設(shè)BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式。當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？【考點】矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，平行的性質(zhì)，解一元二次方程。例6.如圖，在△ABC中

4、，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE、始終經(jīng)過點A，EF與AC交于M點．當線段AM最短時，求重疊部分的面積．例7.在Rt△POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點A、B，連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，△AOB的周長是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。請說明理由。【考點】直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二

5、次函數(shù)的最值。【分析】（1）連接OM，證△PMA和△OMB全等即可。(2)先計算出∴OP=OA+OB=OA+PA=4，再令OA=x，AB=y，則在Rt⊿AOB中，利用勾股定理得y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8求出最值即可。例8.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在邊BC上，E在線段DC上，DE=4，△DEF是等邊三角形，邊DF交邊AB于點M，邊EF交邊AC于點N．設(shè)BD=x，五邊形ANEDM的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式（要求寫出自變量x的取值范圍）；當x為何值時，y有最大值？并求y的最大值．【考點】等腰（邊）三角形的性質(zhì)，相似三

6、角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥渴紫惹蟮谩鰽BC的面積，繼而求得△BDM的面積，然后由相似三角形的性質(zhì)，可求得△BCN的面積，再利用二次函數(shù)的最值問題，即可求得答案。