雙重最值問題的求解策略.doc

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1、雙重最值問題的求解策略江蘇省南通市通州區(qū)石港中學(xué)高志軍最值問題貫穿于高中數(shù)學(xué)的始終，是高中數(shù)學(xué)的重點和難點問題，也是歷年高考的熱點問題.最值問題是一種典型的能力考查題，能有效地考查學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)潛能.近年來，最值試題更加注重于學(xué)生思維能力的考查，常常要求先求所給出一組函數(shù)或一組變量的最大（?。┲?，再求所求得的最大（?。┲档淖钚。ù螅┲?，我們稱這類問題為雙重最值問題.雙重最值問題綜合性強，知識覆蓋率高，解題方法靈活，需用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)換化歸等重要的數(shù)學(xué)思想和方法.我們學(xué)生面對這類問題常常束手無策，本文將根據(jù)自己的一點體會，歸納出解決這類問題所必須掌握的基本知識和基本處理方法

2、.一般地，記表示中中的最大值，表示中中的最小值.策略一：數(shù)形結(jié)合.已知兩個函數(shù)，求兩個函數(shù)的最大（?。┲担偾笏米畲螅ㄐ。┲抵械淖钚。ù螅┲?這種題型，一般先作出兩個函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，用分段函數(shù)的形式寫出兩個函數(shù)的最大（小）值，再結(jié)合圖象具體求解.xyOAB例1、函數(shù)，其中，求最小值.解：作出函數(shù)和，的圖象.由得交點，.∴=.結(jié)合圖象，可知，當(dāng)時，最小值等于.評注：對于(或)的最?。ù螅┲祮栴}，可作出有關(guān)函數(shù)圖象，轉(zhuǎn)化為直觀圖形來解決，這樣大大簡化了解題過程.策略二：取等求解.已知有限個變量，求這些變量中的最大（?。┲抵械淖钚。ù螅┲担@類問題可特殊化，令所有變量都相等

3、，在這些變量都相等條件下具體求解.先看兩個命題.4命題1：對于兩個變量，若有解，則存在最小值，當(dāng)且僅當(dāng)是的解時，記，則取最小值為.命題2：對于兩個變量，若有解，則存在最大值，當(dāng)且僅當(dāng)是的解時，記，則取最大值為.命題1證明：∵時，此時，記，不妨設(shè)時，；時，.當(dāng)時，=，∴最小值為.當(dāng)時，=，∴最小值為.即取最小值為.同理，可證命題2.命題1和命題2中變量個數(shù)可推廣到任意有限個.例2、設(shè)實數(shù)均不小于1，且，則的最小值是.此題是南通市2013屆高三第二次調(diào)研測試13題，據(jù)統(tǒng)計，平均得分約0.83分，可見，我們學(xué)生對這種雙重最值問題感到比較陌生，不能快速、正確求解.解：令，因為實數(shù)均不

4、小于1，則.因為，所以，則.因為實數(shù)均不小于1，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.所以的最小值是9.評注：個變量的雙重最值問題，當(dāng)這個變量都相等且有解時，我們可特殊化，轉(zhuǎn)化為求個變量都相等時的變量所對應(yīng)的值，即為所求的最值.策略三：放縮轉(zhuǎn)換.一般地，若存在最?。ù螅┲?，設(shè)（），則都小于等于（大于等于）4，而后通過轉(zhuǎn)換進行解題.例3、當(dāng)正數(shù)變化時，求的最小值.解：設(shè)，則∵為正數(shù)，∴，則又（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）.∴即.所以,的最小值為.這種解題策略,對于例2同樣可進行求解,請看例2解法二：令，則，又因為實數(shù)均不小于1，∴，∴，因為∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.即的最小值是9.評注：解決這類

5、雙重最值問題，可設(shè)，則問題可以轉(zhuǎn)化為，通過對各個變量放縮轉(zhuǎn)換進行求解,同時要特別注意,放縮后等號成立的條件.這種解題策略是解決雙重最值問題最最基本的策略.策略四：降元化歸.事實上，，，.對于求（）個變量中的最大（?。┲抵械淖钚。ù螅┲?，我們可通過降元，求-1個變量中的最大（?。┲抵械淖钚。ù螅┲?4由此，可得到例2解法三：.當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.所以的最小值是9.評注：一類雙重最值問題，若個變量中的一些元素地位等價時，可以去掉其中一個或一些，進行降元求解.為了進一步體會雙重最值問題求解策略，我們再舉一例.xyO例4、已知為坐標原點，，，，，記、、中的最大值為，當(dāng)取遍一切實數(shù)時，

6、求的最小值.解：設(shè)外接圓半徑，當(dāng)是的外心時，=，當(dāng)在其它任何位置時，＞，所以.因為是的外心，所以在的中垂線上，設(shè)，則.由＝得，，即，化簡得.∵任意實數(shù)，∴，即，∴或..則當(dāng)時，，的最小值為.最值問題涉及到高中數(shù)學(xué)知識的各個方面,是高中數(shù)學(xué)的一個重點，雙重最值問題更是最值問題中的難點.解決這類問題要靈活合理地運用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)換與化歸及數(shù)形結(jié)合等思想方法，要求仔細審題，充分利用好題設(shè)中的條件，更要綜合運用各種技能,靈活選擇合理的解題途徑,從而保證順利、正確完成解題.雙重最值問題的求解策略，只有在多體會多運用的基礎(chǔ)上，才能做到真正的理解和掌握.4