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《考研線性代數(shù)總結(jié).pdf》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、概念、性質(zhì)、定理、公式必須清楚，解法必須熟練，計(jì)算必須準(zhǔn)確一、行列式與矩陣aaaL11121naaaLnt(i12ii...n)行列式的定義D=21222n=??(-1)t(j12jjLn)aaLa=(-1)aaa×××nMMM1j12j2njnni1212iinj12jLjnnii,×××aaaLn12nnnìA可逆?r(An)=??A的列（行）向量線性無關(guān)??A的特征值全不為0?Ax=o只有零解?"x11oo，Ax?n?"bb?=R,Ax總有唯一解A1?0íTAA是正定矩陣??AE@?A=pp×××pp是初等陣?12si?存在n
2、階矩陣B,使得AB==E或ABE?n?A的列（行）向量是R的一組基?n?A是R的某兩組基的過渡矩陣n評(píng)注全體n維實(shí)向量構(gòu)成的集合R叫做n維向量空間.ìA不可逆?r(An)
3、為?的標(biāo)準(zhǔn)基，?中的自然基，單位坐標(biāo)向量p；教材87②e,ee,,×××線性無關(guān)；12n③e,ee,×××=,1；12nnn④tr=E?anii=；?aii（即主對(duì)角元素之和）ii=1⑤任意一個(gè)n維向量都可以用e,ee,,×××線性表示.12n逆序數(shù)：一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個(gè)排列的逆序數(shù)，逆序數(shù)為奇數(shù)叫做奇排列。為偶數(shù)叫做偶排列。奇排列變成偶排列對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)。反之相同一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性（即tt=-(1)）21設(shè)排列為aLaabLLbbcc，作m次相鄰對(duì)換后，變成aLaabbLLbcc，再作m+1次相
4、1l11mn1l11mn鄰對(duì)換后，變成aLabbLLbacc，共經(jīng)過21m+次相鄰對(duì)換，而對(duì)不同大小的兩元素每次1l11mn相鄰對(duì)換逆序數(shù)要么增加1，要么減少1，相當(dāng)于tt=-(1)，也就是排列必改變改變奇偶性，2121m+21m+次相鄰對(duì)換后t=(-11)tt=-()，故原命題成立。211n階行列式的6大性質(zhì)部分證明請(qǐng)看p教材9性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等性質(zhì)2：互換任意行(列)式的兩行列行列式變號(hào)。推論：如果有兩行(列)相同，行列式為0性質(zhì)3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用k乘以行列式推論：行列式的
5、某一行(列)的所有元素的共因子可以提到行列式的外面。性質(zhì)4：行列式中如果有兩行(列)元素成比例，則此行列式等于零。性質(zhì)5：任意行列式可按某行(列)分解為兩個(gè)行列式之和。性質(zhì)6：把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一數(shù)然后再加到另一行(列)上，行列式不變。nn(-1)將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為D，則DD=-(1)2；11nn(-1)將D順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)o290，所得行列式為D，則DD=-(1)22將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為D，則DD=p33教材27將D主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為D，則DD=442kCn行列
6、式按某一行或一列元素的代數(shù)余子式展開定理：拉普拉斯定理D=?MAiii=1nì1,ik=按第i行展開?aijADkj==ddik其中：ikíj=1?0,ik1nì1,j=k按第j行展開?aijADik==ddjk其中：jkíi=1?0,j1k克萊姆法則p教材53n元非齊次線性方程組：ìax+ax+L+=axbaaaL11112211nn11121n??ax+ax+LL+=axbaaa2112222nnn221222íT=DD1T0方程組有唯一解：LLLLL??ax+ax+L+=axbaaa?n11n22nnnnn12nnnDDD12
7、nx=,xx==,L,。其中D(jn=1,2,L,)是將D中的第j列元素?fù)Q成常數(shù)b,bb,L,，12nj12nDDD其余元素不變而得到的行列式。如果b=bb=L==0，對(duì)應(yīng)方程組叫齊次線性方程組。12n用D中第j列元素的代數(shù)余子式A12j,Aj,L,Annj依次乘方程組的(1,)個(gè)方程得ì(a11x1+a12x2+L+=a1nxn)A1jjbA11?證明：?(a21x1+a22x2+L+=a2nxn)A2jjbA22íLLLLLLLLLLLL???(an1x1+an22x+L+=annxn)AnjbAnnjnnnn??????再把n
8、個(gè)方程依次相加，得??ak11Akj÷x+LL+??akjAkj÷xj++=?÷??aknAkjxnbAkkj,èk=1?èk=1?è?kk==11由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,上式中x的系數(shù)等于D,而其余x(i1jD)的系數(shù)均為0;.又等
