考研線性代數(shù)大總結(jié)

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1、1、行列式1.行列式共有個元素，展開后有項，可分解為行列式；2.代數(shù)余子式的性質(zhì)：①、和的大小無關(guān)；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為；3.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：4.設(shè)行列式：將上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為，則；將順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)，所得行列式為，則；將主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為，則；將主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為，則；5.行列式的重要公式：①、主對角行列式：主對角元素的乘積；②、副對角行列式：副對角元素的乘積；③、上、下三角行列式（）：主對角元素的乘

2、積；④、和：副對角元素的乘積；⑤、拉普拉斯展開式：、⑥、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；⑦、特征值；6.對于階行列式，恒有：，其中為階主子式；7.證明的方法：①、；②、反證法；③、構(gòu)造齊次方程組，證明其有非零解；④、利用秩，證明；⑤、證明0是其特征值；2、矩陣1.是階可逆矩陣：（是非奇異矩陣）；（是滿秩矩陣）的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組有非零解；，總有唯一解；與等價；可表示成若干個初等矩陣的乘積；6的特征值全不為0；是正定矩陣；的行（列）向量組是的一組基；是中某兩組基的過渡矩陣；1.對于階矩陣：無條件恒成立；2.3.矩陣是表格，推導(dǎo)

3、符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；4.關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均、可逆：若，則：Ⅰ、；Ⅱ、；②、；（主對角分塊）③、；（副對角分塊）④、；（拉普拉斯）⑤、；（拉普拉斯）3、矩陣的初等變換與線性方程組1.一個矩陣，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：；等價類：所有與等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣、，若；2.行最簡形矩陣：①、只能通過初等行變換獲得；②、每行首個非0元素必須為1；③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；3.初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置

4、后采用初等行變換）①、若，則可逆，且；②、對矩陣做初等行變化，當(dāng)變?yōu)闀r，就變成，即：；③、求解線形方程組：對于個未知數(shù)個方程，如果，則可逆，且；4.初等矩陣和對角矩陣的概念：①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；6②、，左乘矩陣，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；③、對調(diào)兩行或兩列，符號，且，例如：；④、倍乘某行或某列，符號，且，例如：；⑤、倍加某行或某列，符號,且，如：；1.矩陣秩的基本性質(zhì)：①、；②、；③、若，則；④、若、可逆，則；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）⑤、；（※）⑥、；（※）⑦、；（※）⑧、如

5、果是矩陣，是矩陣，且，則：（※）Ⅰ、的列向量全部是齊次方程組解（轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論）；Ⅱ、⑨、若、均為階方陣，則；2.三種特殊矩陣的方冪：①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律；②、型如的矩陣：利用二項展開式；二項展開式：；注：Ⅰ、展開后有項；Ⅱ、Ⅲ、組合的性質(zhì)：；③、利用特征值和相似對角化：3.伴隨矩陣：①、伴隨矩陣的秩：；6②、伴隨矩陣的特征值：；③、、1.關(guān)于矩陣秩的描述：①、，中有階子式不為0，階子式全部為0；（兩句話）②、，中有階子式全部為0；③、，中有階子式不為0；2.線性方程組：，其中為矩陣，

6、則：①、與方程的個數(shù)相同，即方程組有個方程；②、與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組為元方程；3.線性方程組的求解：①、對增廣矩陣進行初等行變換（只能使用初等行變換）；②、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；③、特解：自由變量賦初值后求得；4.由個未知數(shù)個方程的方程組構(gòu)成元線性方程：①、；②、（向量方程，為矩陣，個方程，個未知數(shù)）③、（全部按列分塊，其中）；④、（線性表出）⑤、有解的充要條件：（為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1.個維列向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣；個維行向量所組成的向量組：構(gòu)成矩陣；含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；2.

7、①、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)有、無非零解；（齊次線性方程組）②、向量的線性表出是否有解；（線性方程組）③、向量組的相互線性表示是否有解；（矩陣方程）3.矩陣與行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組和同解；(例14)4.；(例15)5.維向量線性相關(guān)的幾何意義：①、線性相關(guān)；②、線性相關(guān)坐標(biāo)成比例或共線（平行）；6③、線性相關(guān)共面；1.線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若線性相關(guān)，則必線性相關(guān)；若線性無關(guān)，則必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若維向量組的每個向量上添上個分量，構(gòu)成維向量組：若線性無關(guān)，則也線性無關(guān)；反之若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)；

8、（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；2.向量組（個數(shù)為）能由向量組（個數(shù)為）線性表示，且線性無關(guān)，則(二版