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《考研線性代數(shù)總結(jié)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、線性代數(shù)總結(jié)概念、性質(zhì)、定理、公式必須清楚，解法必須熟練，計算必須準(zhǔn)確：全體維實向量構(gòu)成的集合叫做維向量空間.√關(guān)于：①稱為的標(biāo)準(zhǔn)基，中的自然基，單位坐標(biāo)向量；②線性無關(guān)；③；④；⑤任意一個維向量都可以用線性表示.行列式的定義√行列式的計算：①行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.②若都是方陣（不必同階）,則（拉普拉斯展開式）③上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積.④關(guān)于副對角線：（即：所有取自不同行不同列
2、的個元素的乘積的代數(shù)和）⑤范德蒙德行列式：矩陣的定義由個數(shù)排成的行列的表稱為矩陣.記作：或伴隨矩陣，為中各個元素的代數(shù)余子式.√逆矩陣的求法:①：②③√方陣的冪的性質(zhì)：√設(shè)的列向量為,的列向量為，則，為的解可由線性表示.即：的列向量能由的列向量線性表示，為系數(shù)矩陣.同理：的行向量能由的行向量線性表示，為系數(shù)矩陣.即：√用對角矩陣乘一個矩陣,相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的向量；用對角矩陣乘一個矩陣,相當(dāng)于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的向量.√兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘.√分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：分塊矩陣的逆矩陣：分塊對角陣相乘
3、：,分塊對角陣的伴隨矩陣：√矩陣方程的解法()：設(shè)法化成①零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交.②單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān).③部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必?zé)o關(guān).（向量個數(shù)變動）④原向量組無關(guān),接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān),原向量組相關(guān).（向量維數(shù)變動）⑤兩個向量線性相關(guān)對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān).⑥向量組中任一向量≤≤都是此向量組的線性組合.⑦向量組線性相關(guān)向量組中至少有一個向量可由其余個向量線性表示.向量組線性無關(guān)向量組中每一個向量都不能由其余個向量線性表示.⑧維列向量組線性相關(guān)；維列向量組
4、線性無關(guān).⑨若線性無關(guān)，而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法唯一.⑩矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩.行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù).行階梯形矩陣可畫出一條階梯線，線的下方全為；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素非零.當(dāng)非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是時，稱為行最簡形矩陣?矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系；矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系.即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.√矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：對施行一次初等變換得到的矩
5、陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘；對施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘.矩陣的秩如果矩陣存在不為零的階子式，且任意階子式均為零，則稱矩陣的秩為.記作向量組的秩向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為這個向量組的秩.記作矩陣等價經(jīng)過有限次初等變換化為.記作：向量組等價和可以相互線性表示.記作：①矩陣與等價，可逆作為向量組等價,即：秩相等的向量組不一定等價.矩陣與作為向量組等價矩陣與等價.②向量組可由向量組線性表示有解≤.③向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關(guān).向量組線性無關(guān),且可由線性表示,則≤.④向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價；⑤
6、任一向量組和它的極大無關(guān)組等價.向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價.⑥向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個數(shù)唯一確定.⑦若兩個線性無關(guān)的向量組等價,則它們包含的向量個數(shù)相等.⑧設(shè)是矩陣,若，的行向量線性無關(guān)；若，的列向量線性無關(guān),即：線性無關(guān).√矩陣的秩的性質(zhì)：①≥≤≤②③④⑤≤⑥即：可逆矩陣不影響矩陣的秩.⑦若；若⑧等價標(biāo)準(zhǔn)型.⑨≤≤≤⑩：線性方程組的矩陣式向量式矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：（無條件恒成立）線性方程組解的性質(zhì)：√設(shè)為矩陣,若一定有解，當(dāng)時,一定不是唯一解,則該向量組線性相關(guān).是的上限.√判斷是的基礎(chǔ)解系的條件：
7、①線性無關(guān)；②都是的解；③.√一個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一.√若是的一個解，是的一個解線性無關(guān)√與同解（列向量個數(shù)相同）,則：①它們的極大無關(guān)組相對應(yīng),從而秩相等；②它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性；③它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.√兩個齊次線性線性方程組與同解.√兩個非齊次線性方程組與都有解，并且同解.√矩陣與的行向量組等價齊次方程組與同解（左乘可逆矩陣）；矩陣與的列向量組等價（右乘可逆矩陣）.√關(guān)于公共解的三中處理辦法：①把(I)與(II)聯(lián)立起來求解；②通過(I)與(II)各自的通解，找出公共解；當(dāng)(I)與(II)都是齊次線性方程組時，設(shè)是(I)
8、的基礎(chǔ)解系,是(II)的基礎(chǔ)解系，則(I)與(II)有公共解基礎(chǔ)解
