考研線性代數(shù)經(jīng)典總結(jié)

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1、√關(guān)于：①稱為的標(biāo)準(zhǔn)基，中的自然基，單位坐標(biāo)向量；②線性無(wú)關(guān)；③；④；⑤任意一個(gè)維向量都可以用線性表示.√行列式的計(jì)算：①若都是方陣（不必同階）,則②上三角、下三角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積.③關(guān)于副對(duì)角線：√逆矩陣的求法:①②③④9⑤√方陣的冪的性質(zhì)：√設(shè)，對(duì)階矩陣規(guī)定：為的一個(gè)多項(xiàng)式.√設(shè)的列向量為,的列向量為，的列向量為,√用對(duì)角矩陣左乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量；用對(duì)角矩陣右乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量.√兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘,與分塊對(duì)角陣相乘類似,即：√

2、矩陣方程的解法：設(shè)法化成當(dāng)時(shí),√和同解（列向量個(gè)數(shù)相同）,則：①它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而秩相等；②它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性；③它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.√判斷是的基礎(chǔ)解系的條件：①線性無(wú)關(guān)；②是的解；③.1零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交.2單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān).3部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無(wú)關(guān),部分必?zé)o關(guān)。91原向量組無(wú)關(guān),接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān),原向量組相關(guān).2兩個(gè)向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無(wú)關(guān).3向量組中任一向量≤≤都是此向量組的線性組合.4向量組線性相關(guān)向量

3、組中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示.向量組線性無(wú)關(guān)向量組中每一個(gè)向量都不能由其余個(gè)向量線性表示.5維列向量組線性相關(guān)；維列向量組線性無(wú)關(guān).6.7若線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法惟一.8矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩.階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù).9矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系.矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系.向量組等價(jià)和可以相互線性表示.記作：矩陣等價(jià)經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為.記作：10矩陣與等價(jià)作為向量組等價(jià),即：秩相等的向量組不一定等價(jià).矩陣與作為向量組等價(jià)矩陣與

4、等價(jià).11向量組可由向量組線性表示≤.12向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關(guān).向量組線性無(wú)關(guān),且可由線性表示,則≤.13向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價(jià)；14任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià).15向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià),且這兩個(gè)組所含向量的個(gè)數(shù)相等.16若兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等.17若是矩陣,則,若，的行向量線性無(wú)關(guān)；若，的列向量線性無(wú)關(guān),即：線性無(wú)關(guān).線性方程組的矩陣式向量式9矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：9線性方程組解的性質(zhì)：√設(shè)為矩陣,若,則,從而一定有解.當(dāng)時(shí),一定不是唯一解.

5、,則該向量組線性相關(guān).是的上限.√矩陣的秩的性質(zhì)：①②≤③≤④⑤⑥≥⑦≤⑧⑨⑩且在矩陣乘法中有左消去律:標(biāo)準(zhǔn)正交基個(gè)維線性無(wú)關(guān)的向量,兩兩正交,每個(gè)向量長(zhǎng)度為1..是單位向量.√內(nèi)積的性質(zhì)：①正定性：②對(duì)稱性：③雙線性：9施密特線性無(wú)關(guān),單位化：正交矩陣.√是正交矩陣的充要條件：的個(gè)行（列）向量構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.√正交矩陣的性質(zhì)：①；②；③是正交陣,則（或）也是正交陣；④兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣；⑤正交陣的行列式等于1或-1.的特征矩陣.的特征多項(xiàng)式.的特征方程.√上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線上的各元素.√若,則為的特征值,且的基礎(chǔ)

6、解系即為屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量.√√若,則一定可分解為=、,從而的特征值為：,.√若的全部特征值，是多項(xiàng)式,則:①的全部特征值為；②當(dāng)可逆時(shí),的全部特征值為,的全部特征值為.√9√與相似（為可逆陣）記為：√相似于對(duì)角陣的充要條件：恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.這時(shí),為的特征向量拼成的矩陣，為對(duì)角陣,主對(duì)角線上的元素為的特征值.√可對(duì)角化的充要條件：為的重?cái)?shù).√若階矩陣有個(gè)互異的特征值,則與對(duì)角陣相似.與正交相似（為正交矩陣）√相似矩陣的性質(zhì)：①若均可逆②③（為整數(shù)）④,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:是關(guān)于的特征向量,是關(guān)于的特征向量.⑤從而

7、同時(shí)可逆或不可逆⑥⑦√數(shù)量矩陣只與自己相似.√對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：①特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量；②與對(duì)角矩陣合同；③不同特征值的特征向量必定正交；④重特征值必定有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；⑤必可用正交矩陣相似對(duì)角化（一定有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,可能有重的特征值,重?cái)?shù)=）.可以相似對(duì)角化與對(duì)角陣相似.記為：（稱是的相似標(biāo)準(zhǔn)型）√若為可對(duì)角化矩陣,則其非零特征值的個(gè)數(shù)（重?cái)?shù)重復(fù)計(jì)算）.√設(shè)為對(duì)應(yīng)于的線性無(wú)關(guān)的特征向量,則有：.√若,,則：.√若,則,.9二次型為對(duì)稱矩陣與合同.記作：（）√兩個(gè)矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù).√兩個(gè)矩陣合同的

8、充分條件是：√兩個(gè)矩陣合同的必要條件是：√經(jīng)過(guò)化為標(biāo)準(zhǔn)型.√二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不是惟