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1、§2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征每個隨機(jī)變量都有一個分布（分布列、密度函數(shù)或分布函數(shù)），不同的隨機(jī)變量可能有不同的分布，也可能有相同的分布。分布全面的描述了隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，由分布可以算出有關(guān)隨機(jī)變量的概率。除此之外有分布還可以算的相應(yīng)隨機(jī)變量的均值、方差、分位數(shù)等特征數(shù)，這些特征數(shù)從各個側(cè)面描述分布的特征。2.4山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院1第二章隨機(jī)變量§2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征【一】隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(Mean)1、離散型定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為若級數(shù)絕對收斂,即則稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望(或均值)，記作E(X)。即山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2第二章隨機(jī)變量§2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨
2、機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(Mean)2、連續(xù)型定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，若絕對收斂，即，則稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望(或均值)，記作E(X)。即山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院3第二章隨機(jī)變量§2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：①C為常數(shù)，則E(C)=C②C為常數(shù)，E(C*X)=C*E(X)③E(X+Y)=E(X)+E(Y)④設(shè)X,Y相互獨(dú)立，則E(X*Y)=E(X)*E(Y)說明：在離散情形下，數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量取值的加權(quán)平均值，每個值所對應(yīng)的“權(quán)”就是其出現(xiàn)的概率，這個結(jié)果比算術(shù)平均更能合理預(yù)測隨機(jī)變量的可能取值，這也就是“期望”這個名稱的由來。山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院4第二章隨機(jī)變量§2.4隨
3、機(jī)變量的數(shù)字特征【二】隨機(jī)變量的方差(Variance)1、離散型定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為若級數(shù)則稱此級數(shù)的和為X的方差,記作D(X),即2、連續(xù)型定義設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為p(x),若則稱此無窮積分值為X的方差,記作D(X),即山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院5第二章隨機(jī)變量§2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征方差(Variance)統(tǒng)一定義：Def：稱為隨機(jī)變量X的方差，而稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差(meansquareerror，MSE)。計(jì)算方差的常用公式說明：D(X)=0，表示X以概率1取常數(shù)值，此時X已不是隨機(jī)變量了。山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院6第二章隨機(jī)變量§2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征方差的性
4、質(zhì)：①常數(shù)的方差為0；②D(C*X)=C2*D(X),其中C為常數(shù);③若X，Y相互獨(dú)立，則。一個重要的結(jié)論——方差是所有偏差中最小的。設(shè)函數(shù)，則當(dāng)x=E(X)時，f(x)達(dá)到最小值。山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院7第二章隨機(jī)變量§2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征說明：方差和標(biāo)準(zhǔn)差的功能相識，都是用來描述隨機(jī)變量取值的集中與分散程度（即散布范圍大?。┑膬蓚€特征數(shù)，方差與標(biāo)準(zhǔn)差愈小，隨機(jī)變量的取值愈集中；方差與標(biāo)準(zhǔn)差愈大，隨機(jī)變量的取值愈分散。方差與標(biāo)準(zhǔn)差之間的主要差別在量綱上，由于標(biāo)準(zhǔn)差與所討論的隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)期望有相同的量綱，所以實(shí)際中，人們比較樂意選用標(biāo)準(zhǔn)差，但標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算必須通過方差才能得出。山西大學(xué)數(shù)學(xué)
5、科學(xué)學(xué)院8第二章隨機(jī)變量§2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征常見隨機(jī)變量期望和方差的計(jì)算(1)0-1分布設(shè)X?B(1,p)，則(2)二項(xiàng)分布設(shè)X?B(n,p)，則山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院9第二章隨機(jī)變量§2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征(3)泊松分布設(shè)X?P(?),則山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院10第二章隨機(jī)變量§2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征(4)均勻分布設(shè)X?U(a,b),則(5)指數(shù)分布設(shè)X?E(?),則山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院11第二章隨機(jī)變量§2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征(6)正態(tài)分布設(shè)X?N(?,?2),則山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院12第二章隨機(jī)變量§2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征常見分布的期望和方差表：MeanVariance兩點(diǎn)分
6、布b(1,p)pp*q二項(xiàng)分布B(n,p)n*pn*p*q泊松分布P(?)??均勻分布U(a,b)(a+b)/2(b-a)2/12正態(tài)分布N(?,?2)??2指數(shù)分布E(?)1/?1/?2山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院13第二章隨機(jī)變量§2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征一般變量的標(biāo)準(zhǔn)化或無量鋼化：為便于比較不同單位或不同量級的數(shù)據(jù)，常需要將其標(biāo)準(zhǔn)化或無量鋼化。若隨機(jī)變量X有E(X)=，D(X)=，則有E(X*)=0，D(X*)=1。事實(shí)上，山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院14第二章隨機(jī)變量§2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征【三】矩的概念：設(shè)隨機(jī)變量X，Y，正整數(shù)k，l，稱E(Xk)為X的k階原點(diǎn)矩，簡稱k階矩；E{[X-E(x)
7、]k}為X的k階中心矩；E(
8、X
9、k)為X的k階絕對原點(diǎn)矩；E(
10、X-E(X)
11、k)為X的k階絕對中心矩；E[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l為X、Y的k+l階混合中心矩。易知，一階原點(diǎn)矩是期望，二階中心矩是方差。山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院15第二章隨機(jī)變量§2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征若記則k階原點(diǎn)矩和k階中心距之間有一個簡單的關(guān)系：山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院16第二章隨機(jī)變量§2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征【四】變異系數(shù)設(shè)隨
