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1、第2課時 函數(shù)的單調(diào)性與最值1．單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I.如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1＜x2時，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)2.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是或，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間．【思考探究】單調(diào)區(qū)間與函數(shù)定義域有何關(guān)系？提示：單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間．增函數(shù)減函數(shù)區(qū)間D答案：C2．函數(shù)y＝x2＋
2、2x－3(x＞0)的單調(diào)增區(qū)間是( )A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，－3]解析：二次函數(shù)的對稱軸為x＝－1，又因為二次項系數(shù)為正數(shù)，拋物線開口向上，對稱軸在定義域的左側(cè)，所以其單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)．答案：A答案：B用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟(1)取值：即設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)任意兩個值，且x1＜x2.(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通過通分、配方、因式分解等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形．(3)定號：根據(jù)給定的區(qū)間和x2－x1的符號，確定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f
3、(x2))的符號．當(dāng)符號不確定時，可以進行分類討論．(4)判斷：根據(jù)定義得出結(jié)論．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定單調(diào)性的方法一致(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間．(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義．(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間．(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并確定每一區(qū)間上的單調(diào)性．(1)y＝－x2＋2
4、x
5、＋3；(2)y＝3x2－x.解析：(1)依題意，可得當(dāng)x≥0時，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1
6、)2＋4；當(dāng)x＜0時，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.由二次函數(shù)的圖象知，函數(shù)y＝－x2＋2
7、x
8、＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函數(shù)，在[－1,0]，[1，＋∞)上是減函數(shù)．解析：(1)先作出函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象，由于絕對值的作用，把x軸下方的部分翻折到上方，可得函數(shù)的圖象如圖所示．由圖可知，函數(shù)的增區(qū)間為[1,2]，(3，＋∞)，減區(qū)間為(－∞，1)，(2,3]．求函數(shù)最值(值域)常用的方法和思路(1)單調(diào)性法：先定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值．(2)圖象法：先作出函數(shù)在給定區(qū)間上的圖象，再觀察其最高、最低點，求出最值．(3)基本不
9、等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值．(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值．(5)換元法：對較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值．這樣問題就轉(zhuǎn)化為求g(x)的最小值φ(a)，從而得到關(guān)于a的不等式，解之即可．g(x)＝(x＋1)2＋a－1，對稱軸為x＝－1，且開口向上，所以g(x)在[1，＋∞)上遞增，所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值為g(1)＝3＋a，由3＋a＞0得a＞－3.1．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間首先應(yīng)注意函數(shù)的定義域，函數(shù)的增減區(qū)間都是其定義域的子集；其次
10、掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．常用方法有：根據(jù)定義，利用圖象和單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，還可以利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)．2．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對于復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，且y＝f(t)在區(qū)間(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是單調(diào)函數(shù)，若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相同(同時為增或減)，則y＝f[g(x)]為增函數(shù)；若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相反，則y＝f[g(x)]為減函數(shù)．簡稱為：同增異減．3．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減．單調(diào)區(qū)間要分開寫，即使在兩
11、個區(qū)間上的單調(diào)性相同，也不能用并集表示．從近兩年的高考試題來看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法．答案：B【全解全析】答案：C答案：A答案：C
