菱形(提高)知識(shí)講解.doc

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1、菱形【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.要點(diǎn)詮釋：菱形的定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)平行四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條件.要點(diǎn)二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.3.菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（對(duì)角線所在的直線），對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.要點(diǎn)詮釋：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，過中心的任

2、意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.（2）菱形的面積由兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對(duì)角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問題.要點(diǎn)三、菱形的判定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.四條邊相等的四邊形是菱形.要點(diǎn)詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上

3、外加一個(gè)條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.【典型例題】類型一、菱形的性質(zhì)1、如圖所示，菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，則∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度數(shù)，只要求出∠AEF的度數(shù)即可，由∠EAF＝60°，結(jié)合已知條件易證△AEF為等邊三角形，從而∠AEF＝60°．【答案與解析】解：連接AC．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACF

4、．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴AE＝AF．∴△AEF為等邊三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【總結(jié)升華】當(dāng)菱形有一個(gè)內(nèi)角為60°時(shí)，連接菱形較短的對(duì)角線得到兩個(gè)等邊三角形，有助于求相關(guān)角的度數(shù)．在求角的度數(shù)時(shí)，一定要注意已知角與所求角之間的聯(lián)系．2、已知：如圖所示，四邊

5、形ABCD是菱形，過AB的中點(diǎn)E作AC的垂線EF，交AD于點(diǎn)M，交CD的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：AM＝DM；(2)若DF＝2，求菱形ABCD的周長．【答案與解析】證明：(1)連接DB，則由菱形性質(zhì)得BD⊥AC．又因?yàn)镋F⊥AC，所以EF∥BD，即ME∥BD．又因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)．所以AM＝DM．(2)由(1)得DB∥EF．又BE∥DF，所以四邊形EFDB是平行四邊形．所以BE＝DF＝2．又因?yàn)椋碅B＝2BE＝2×2＝4．所以菱形ABCD的周長為4×4＝16．【總結(jié)升華

6、】菱形四邊相等，對(duì)角線互相垂直平分.舉一反三：【變式】（2015春?濰坊期中）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AB的中點(diǎn)，如果EO=2，求四邊形ABCD的周長．【答案】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴BO=DO，即O為BD的中點(diǎn)，又∵E是AB的中點(diǎn)，∴EO是△ABD的中位線，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周長=4AD=4×4=16．類型二、菱形的判定3、（2014春?鄭州校級(jí)月考）如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6cm，射線AG∥BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線A

7、G以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿線射BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）連接EF，當(dāng)EF經(jīng)過AC邊的中點(diǎn)D時(shí)，求證：△ADE≌△CDF；（2）當(dāng)t為多少時(shí)，四邊形ACFE是菱形．【思路點(diǎn)撥】（1）由題意得到AD=CD，再由AG與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對(duì)角相等，利用AAS即可得證；（2）若四邊形ACFE是菱形，則有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即可．【答案與解析】（1）證明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC

8、，∵D為AC的中點(diǎn)，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①若四邊形ACFE是菱形，則有CF=AC=AE=6，則此時(shí)的時(shí)間t=6÷1=6（s）．故答案為：6s．【總結(jié)升華】此題考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝，M為底邊BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q.⑴求四邊形AQMP的周長；⑵M位于BC的什么位置時(shí)，四邊形AQMP為菱形？說明