線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析ppt課件.ppt

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1、3-5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析勞斯判據(jù)煙臺(tái)大學(xué)光電信息學(xué)院3.5.1穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定是一個(gè)控制系統(tǒng)能否在實(shí)際中投入使用的首要條件。系統(tǒng)穩(wěn)定性：如系統(tǒng)處于初始平衡狀態(tài)，在受到外界擾動(dòng)作用后，將會(huì)偏離該平衡狀態(tài)。如果該擾動(dòng)作用消失后，若系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)能恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)若線性控制系統(tǒng)在初始擾動(dòng)的影響下，其動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間的推移逐漸衰減并趨于零（原平衡工作點(diǎn)），則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動(dòng)影響下，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.5.2線性系統(tǒng)穩(wěn)定性

2、的充要條件線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)本身的固有特性，而與外界條件無(wú)關(guān)。線性系統(tǒng)的特性或狀態(tài)是由線性微分方程來(lái)描述的,而微分方程的解通常就是系統(tǒng)輸出量的時(shí)間表達(dá)式,它包含兩個(gè)部分:穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量。研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性,就是研究系統(tǒng)輸出量中瞬態(tài)分量的運(yùn)動(dòng)形式。它完全取決于系統(tǒng)的特征方程,即齊次微分方程,這個(gè)特征方程反映了擾動(dòng)消除之后輸出量的運(yùn)動(dòng)情況。單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為系統(tǒng)的特征方程式為此方程的根稱為特征根,它由系統(tǒng)本身的參數(shù)和結(jié)構(gòu)所決定。從常微分方程理論可知,微分方程解的收斂性完全取決于其相應(yīng)特征方程的根

3、。如果特征方程的所有根都是負(fù)實(shí)數(shù)或?qū)嵅繛樨?fù)的復(fù)數(shù),則微分方程的解是收斂的;如果特征方程存在正實(shí)數(shù)根或正實(shí)部的復(fù)根,則微分方程的解中就會(huì)出現(xiàn)發(fā)散項(xiàng)。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程式的所有根均為負(fù)實(shí)根或其實(shí)部為負(fù)的復(fù)根,即特征方程的根均在復(fù)平面的左半平面。即閉環(huán)線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均在s平面的左半部分。對(duì)于s平面右半平面沒(méi)有極點(diǎn),但虛軸上存在極點(diǎn)的線性定常系統(tǒng),稱之為臨界穩(wěn)定的,該系統(tǒng)在擾動(dòng)消除后的響應(yīng)通常是等幅振蕩的。在工程上,臨界穩(wěn)定屬于不穩(wěn)定,因?yàn)閰?shù)的微小變化就會(huì)使極點(diǎn)具有正實(shí)部,從

4、而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。極點(diǎn)位于S左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定;極點(diǎn)位于S右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定;極點(diǎn)位于虛軸上，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定.注意：穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入輸出信號(hào)無(wú)關(guān)，與初始條件無(wú)關(guān)；只與極點(diǎn)有關(guān)，與零點(diǎn)無(wú)關(guān)。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷方法：1）有界輸入，其輸出也為有界的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。2）單位沖激響應(yīng)滿足絕對(duì)可積。3）其極點(diǎn)均位于s左半平面，則系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。4）對(duì)復(fù)雜高階系統(tǒng)，利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)或赫爾維茲穩(wěn)定判據(jù)進(jìn)行判定。（一種代數(shù)判據(jù)）5）利用根軌跡進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性判定。（圖解法）6）利用奈氏穩(wěn)定判據(jù)或

5、對(duì)數(shù)頻率特性進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性判定。（圖解法）7）李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)。3.5.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件,可以通過(guò)求取系統(tǒng)特征方程式的所有根,并檢查所有特征根實(shí)部的符號(hào)來(lái)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。但由于一般特征方程式為高次代數(shù)方程,因此要計(jì)算其特征根必須依賴計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。采用勞斯穩(wěn)定判據(jù),可以不用求解方程,只根據(jù)方程系數(shù)做簡(jiǎn)單的運(yùn)算,就可以確定方程是否有(以及有幾個(gè))正實(shí)部的根,從而判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。以下是勞斯判據(jù)的具體內(nèi)容。設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為（1）勞斯穩(wěn)定判據(jù)給出控制系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：控制系統(tǒng)特征

6、方程的所有系數(shù)ai(i=0,1,2,…,n)均為正值，且特征方程式不缺項(xiàng)。（2）列勞斯表。勞斯表勞斯判據(jù)：勞斯表中第一列的所有計(jì)算值均大于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定。反之，如果第一列中出現(xiàn)小于或等于零的數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。而且第一列各系數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)，等于特征方程正實(shí)部根的數(shù)目。例1：設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于該表第一列系數(shù)的符號(hào)變化了兩次,因此該方程中有兩個(gè)根s右半平面,故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。解：系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)均大于零,并且沒(méi)有缺項(xiàng),所以穩(wěn)定的必要條件滿足。列勞斯表例2：系統(tǒng)如圖所示，確定使系統(tǒng)穩(wěn)

7、定的K的取值范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為所以系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表如下:根據(jù)勞斯判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足因此,使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的K的取值范圍為當(dāng)K=14/9時(shí),系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。注意：勞斯表中同一行元素同乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，由勞斯判據(jù)所得的結(jié)論不變。3.5.4勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況1.在勞斯表的某行的第一列某項(xiàng)為零，而其余各項(xiàng)均不為零，或不全為零；可用一個(gè)很小的正數(shù)ε代替為零的元素,然后繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算,完成勞斯表。試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例3：系統(tǒng)的特征方程為由于該表第一列系數(shù)的符號(hào)變化了兩次,因此該方程中有兩個(gè)根在

8、s右半平面,故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。解:列勞斯表得：其中2.在勞斯表的某一行中，出現(xiàn)所有元均為零的情況。(1)先用全零行的上一行元素構(gòu)成一個(gè)輔助方程(2)再將上述輔助方程對(duì)s求導(dǎo)(3)用求導(dǎo)后的方程系數(shù)代替全零行的元素，繼續(xù)完成勞斯表。解：列勞斯表例4：系統(tǒng)的特征方程