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1、第3章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法11.重點(diǎn)介紹一階和二階系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的分析和計(jì)算；2.討論系統(tǒng)參數(shù)對(duì)性能指標(biāo)的影響，分析改進(jìn)二階系統(tǒng)性能的措施；3.介紹用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，4.計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的方法本章主要內(nèi)容23.4線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件。一、穩(wěn)定的基本概念如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動(dòng)控制理論的基本任務(wù)之一。大范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)：不論擾動(dòng)引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動(dòng)取消后，都能以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)的系統(tǒng)小范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)：只有當(dāng)擾動(dòng)引起的
2、初始偏差小于某一范圍時(shí)，系統(tǒng)才能在取消擾動(dòng)后恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，否則就不能恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)的系統(tǒng)。3穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)的示例單擺運(yùn)動(dòng)示意圖Af不穩(wěn)定系統(tǒng)小范圍穩(wěn)定系統(tǒng)dfcA對(duì)于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，必然在大范圍和小范圍內(nèi)均穩(wěn)定；只有非線性系統(tǒng)才可能有小范圍穩(wěn)定而大范圍不穩(wěn)定的情況。4在分析線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的時(shí)候，所關(guān)心的是在系統(tǒng)在不受任何外界輸入作用下，系統(tǒng)方程的解在時(shí)間t趨于無窮時(shí)的漸近行為。即運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。對(duì)于線性系統(tǒng)而言，運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性是等價(jià)的。線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性的定義：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動(dòng)的影響下，其動(dòng)態(tài)過程
3、隨時(shí)間的推移逐漸衰減并趨于零（原平衡工作點(diǎn)），則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動(dòng)影響下，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。5根據(jù)這個(gè)思路分析系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件設(shè)線性定常系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，作用一個(gè)理想單位脈沖，這時(shí)系統(tǒng)的輸出增量為脈沖響應(yīng)。這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)信號(hào)作用下，偏離原平衡工作點(diǎn)的問題。如果當(dāng)t趨于無窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)C(t)收斂到原來的零平衡狀態(tài)，即則該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的6在單位脈沖函數(shù)的作用下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換可表示為7當(dāng)系統(tǒng)特征方程的根
4、都具有負(fù)實(shí)部時(shí)，則各瞬態(tài)分量都是衰減的，且有，此時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上具有正實(shí)部，則該根對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量是發(fā)散的，此時(shí)有，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果特征根中具有一個(gè)或一個(gè)以上的零實(shí)部根，而其余的特征根均有負(fù)實(shí)部，則C（t）趨于常數(shù)或作等幅振蕩，這時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定和不穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，常稱之為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。對(duì)于大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)，當(dāng)它處于臨界狀態(tài)時(shí)，也是不能正常工作的，所以臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。8線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部，或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于為S平面的左
5、半部分（不包括虛軸）。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面9至于分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的其它方法如奈氏判據(jù)、根軌跡圖分析法、伯德圖分析法等，將在以后的各章中分別予以介紹。由以上討論可知，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定的充要條件是其特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部。勞斯判據(jù)利用特征方程的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，得出全部特征根具有負(fù)實(shí)部的條件，以此作為判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的依據(jù)，因此，這種判據(jù)又稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。三.勞斯穩(wěn)定判據(jù)101）穩(wěn)定的必要條件設(shè)系統(tǒng)的特征方程為式中。若該方程的特征根為（1,2,….n）,該n個(gè)根可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù)，則上式可改寫成為將上式展開……11由此
6、可見，如果特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部，則特征方程式中的所有系數(shù)必然都大于零。故系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是其特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正，即根據(jù)必要條件，在判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，可事先檢查系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否都大于零，若有任何系數(shù)是負(fù)數(shù)或等于零，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但是，當(dāng)特征方程滿足穩(wěn)定的必要條件時(shí)，并不意味著系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，為了進(jìn)一步確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以使用勞斯判據(jù)。122）勞斯判據(jù)將系統(tǒng)的特征方程寫成如下形式將方程各項(xiàng)系數(shù)組成勞斯表勞思陣的前兩行由特征方程的系數(shù)組成。第一行為1，3，5，…項(xiàng)系數(shù)組成，第二行為2，4，6，…項(xiàng)系數(shù)組成。0
7、4321ssssssnnnnnM----1314設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為則該系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：由特征方程系數(shù)組成的勞思陣的第一列為正。如果勞思表第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)值，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且第一列各系數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)，代表特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目。04321ssssssnnnnnM----15例1已知系統(tǒng)的特征方程為試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例2已知系統(tǒng)的特征方程為 試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1)2)3)16四.勞斯判據(jù)的特殊情況1）勞思表某行第一個(gè)列項(xiàng)為零，其余不為零或不全為零。[處理辦法一]：用很小的正數(shù)代替零的那一項(xiàng)
8、，然后據(jù)此計(jì)算出勞斯陣列中的其他項(xiàng)。例3設(shè)系統(tǒng)特征方程為s4+2s3+s2+2s+2=0；試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列出勞斯表s4112s3220s2?(取代0)2s1(2?-4)/?s02可見第一列元素的符號(hào)改變兩次，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的
