資源描述：
《第12初等變換與初等矩陣ppt課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第1.2節(jié):初等變換與初等矩陣1.2.1初等變換1.2.2初等矩陣及其性質(zhì)1.2.3初等變換與逆矩陣8/28/20211(共18頁)線性方程組的同解變換對于(1.1)式所示的線性方程組,可做如下的三種變換:(1)互換兩個方程的位置;(2)把某一個方程兩邊同乘以一個非零常數(shù)c;(3)將某一個方程加上另一個方程的k倍.稱為線性方程組的初等變換.以上初等變換是可逆的.這個定理在矩陣中如何體現(xiàn)呢？(1.1)8/28/20212(共18頁)1.2.1:初等變換初等行變換row初等列變換column交換i,j兩行數(shù)乘第i行數(shù)乘第i行加到第j行
2、交換i,j兩列數(shù)乘第i列數(shù)乘第i列加到第j列8/28/20213(共18頁)矩陣A經(jīng)過初等變換后化為矩陣B,表示為:習慣上,在箭頭上面寫出行變換,在箭頭的下面寫出列變換.例如：8/28/20214(共18頁)例1.7(P12)初等變換把矩陣變成行階梯形，得到它代表的同解方程組8/28/20215(共18頁)1.2.2:定義1.10由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.初等矩陣有三種類型:(1)對調(diào)E中第i,j行,得到的矩陣記為:Rij;對調(diào)E中的第i,j列,得到的矩陣記為:Cij.故:1010111ijijRijCi
3、j==初等矩陣及其性質(zhì)8/28/20216(共18頁)用不為零的數(shù)λ乘以E中的第i行,得到的矩陣記為Ri(λ);用不為零的數(shù)λ乘以E中的第i列,得到的矩陣記為Ci(λ).1111Ri(λ)Ci(λ)==λii8/28/20217(共18頁)以數(shù)λ乘以E中的第i行加到第j行上去,得到的矩陣，記為Rij(λ);以數(shù)λ乘以E中的第j列加到第i列上去,得到的矩陣,記為Cji(λ),則有:1111λRij(λ)Cji(λ)==ijij8/28/20218(共18頁)初等矩陣是可逆的,并且其逆矩陣也是同一類型的初等矩陣,易驗證:Rij-1=R
4、ij；(Ri(λ))-1=Ri(1/λ)；(Rij(λ))-1=Rij(-λ).定理1.2有限個初等矩陣的乘積必可逆.用初等矩陣左乘某矩陣，其結(jié)果等于對該矩陣作相應的初等行變換。用初等矩陣右乘某矩陣，其結(jié)果等于對該矩陣作相應的初等列變換.(初等矩陣與初等變換的關(guān)系,左行右列)Example8/28/20219(共18頁)不難證明下面的一般結(jié)論:Ri(c)A表示A的第i行乘c;Rij(c)A表示A的第i行乘c加至第j行;RijA表示A的第i行與第j行對換位置;BCi(c)表示B的第i列乘c;BCij(c)表示B的第i列乘c加至第j列
5、;BCij表示B的第i列與第j列對換位置.8/28/202110(共18頁)定理:可逆矩陣經(jīng)過有限次初等變換得到的矩陣仍然是可逆陣.(證明)定理1.3可逆矩陣可以經(jīng)過有限次初等行變換化為單位陣.(P14)(證明)定理1.4方陣P為可逆陣的充分必要條件是P可以表示為有限個初等矩陣的乘積.（證明）一般地,矩陣A經(jīng)過有限次初等變換后得到B,可以記為B=PAQ,其中P是有限次初等行變換所對應的初等矩陣的乘積,Q是有限次初等列變換所對應的初等矩陣的乘積.8/28/202111(共18頁)1.2.3:由定理1.4可知,可逆矩陣A可以分解成若干
6、初等矩陣的乘積,設:A=P1P2….Pt則有:上兩式表明,對矩陣A與E施行同樣的行變換,在把A化成單位矩陣時,E同時就化成A-1,因此,通常將A與E按照行的方向組合成一個大矩陣,對大矩陣施行同樣的行變換,即得:Pt-1……P2-1P1-1A=E,且Pt-1……P2-1P1-1E=A-1初等變換與逆矩陣Pt-1……P2-1P1-1(AE)=(EA-1)8/28/202112(共18頁)設A=，解求A－１.r2+r1r3-3r1r3+5r2例1.88/28/202113(共18頁)所以A－1=8/28/202114(共18頁)例求矩陣
7、的逆。解8/28/202115(共18頁)同理,可以用初等列變換來求逆矩陣,在這樣做時,應是對形為:A…E的矩陣作初等列變換,在將A化為E的同時,E就變成了所要求的逆矩陣A-1.(求逆矩陣的過程中,初等行與列變換不能混用.)8/28/202116(共18頁)練習1.利用初等行變換求矩陣A的逆矩陣,其中解:8/28/202117(共18頁)2:設A是n階可逆方陣，將A的第i行和第j行對換后得到的矩陣記為B.(1)證明B可逆.(2)求AB-1.(97，一)證明:(1):B=RijA(其中Rij為對調(diào)單位矩陣E中的第i,j行所得到的矩陣
8、)又因為A可逆，Rij也可逆。所以，RijA可逆，即矩陣B可逆，且等于B-1=A-1Rij-1(2):AB-1=AA-1Rij-1=Rij.8/28/202118(共18頁)初等變換與初等矩陣小結(jié)線性方程組的同解變換矩陣的初等變換初等矩陣初等行（列
