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1、第1講函數及其表示Ⅰ考點解讀一、函數的概念1.映射的定義設A，B是兩個非空集合，如果按照某種對應關系f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應.那么這種對應叫做集合A到集合B的映射，記作f:A→B.2.函數的定義（1）傳統(tǒng)定義：在某一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于某一個范圍內任一個x的值，都有唯一的y值與它對應，則稱y是x的函數，x叫做自變量，y叫做因變量.（2）現代定義：設A，B是兩個非空數集，如果按照某種對應關系f，對于集合A中的任何一個數x，在集合B中都有唯一的數f(x)和它對應.那么這種對應叫做集合A到集合B的函數，記
2、作y＝f(x).3.函數三要素①定義域：自變量x的取值范圍.②值域：因變量y的取值范圍.③對應關系：聯結x與y的關系，一般即解析式.二、定義域求定義域的基本類型：①f(x)為整式：定義域為R；②f(x)為分式：定義域為分母不為0；③f(x)為偶次根式：定義域為根號下≥0；④f(x)＝x0：定義域為x≠0.注意：⑴求定義域時對于解析式不能化簡，必須根據原式求定義域；⑵求出定義域后，一定要將其寫成集合或區(qū)間的形式．三、值域1.分段函數求值問題（1）分段函數：①若函數在其定義域的不同子集上，因對應法則不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數.②分段
3、函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集．注意：分段函數是一個函數而不是幾個函數，處理分段函數問題時，首先確定自變量的取值屬于哪個區(qū)間，再選取相應的對應法則，離開定義域討論分段函數是毫無意義的．（2）分段函數求值問題的兩種類型①已知自變量求函數值：首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應的解析式代入求解．②已知函數值求自變量：應根據每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值(或范圍)是否符合相應段的自變量的取值范圍．2.函數求值域問題求函數值域的常見類型：（1）一般型：常見的求值域問題可用基本函數的性質等來處理，比
4、較簡單.（2）絕對值型：利用絕對值的代數意義將函數以分段函數的形式來表示，各段分別求值域即可.（3）分式型：利用分離常量法將函數變形成反比例函數模型，然后用不等式基本性質運算即可.第1頁（4）根式型：利用換元法將函數變形成無根式的形式，然后對換元后的新函數求值域即可.四、解析式求函數解析式的常見類型：1.類型一：已知f(x)、g(x)，求f[g(x)]型.代入法：將g(x)代入f(x)中的x，即得到f[g(x)]的解析式．2.類型二：已知f[g(x)]、g(x)，求f(x)型.換元法：可設g(x)＝t，從中解出x，代入g(x)進行換元，求出f(t)的解析式
5、，再將t替換為x即可．3.類型三：函數形式確定型.待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)，根據函數類型設出函數解析式，根據題設條件列出方程組，解出待定系數即可．4.類型四：函數自變量對稱出現型.函數方程法：已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如f(－x)、f(1)，f(x)．x則可根據已知等式再構造其他等式組成方程組，通過解方程組求出Ⅱ解題模板題型一：函數概念的理解例1：判斷下列對應是否從A到B的映射：(1)A＝B＝N*，f：x→
6、x－3
7、(2)A＝{三角形}，B＝{圓}，f：三角形的內切圓例2：下列各式是
8、否能確定y是x的函數：(1)y＝x－2＋1－x＋2(2)(x－1)2＋(y－1)2＝2(3)x2－y＝3例3：判斷下列各題中兩個函數是否表示同一個函數:(1)f(x)＝x，g(x)＝(x)2(2)f(x)＝x，g(x)＝x2(3)f(x)＝x，g(x)＝3x3x2－4(5)f(x)＝(x＋2)2，g(x)＝
9、x＋2
10、，g(x)＝x＋2(4)f(x)＝x－2規(guī)律總結：⑴判斷映射的具體步驟：①看集合A，B是否為空集；②看是否A中每一個元素在B中都能找到對應元素，是否A中每一個元素在B中都能找到唯一的對應元素.⑵判斷函數的方法：若x和y的關系式中沒有y2或
11、y
12、
13、，一般都是函數.⑶判斷兩個函數是否相同的步驟：①看定義域是否相同；②看對應關系是否相同.題型二：求定義域問題例1：求下列函數的定義域：(1)y＝x－4＋2(x＋1)04－x＋x(2)y＝x＋2例2：(1)已知y＝f(x)的定義域為[1，2]，求y＝f(2x＋1)的定義域.(2)已知y＝f(2x＋1)的定義域為[1，2]，求y＝f(x)的定義域.例3：若函數y＝mx2－6mx＋m＋8的定義域為R，求實數m的取值范圍.x＋1(3)y＝x2－5x＋6第2頁規(guī)律總結：求定義域的基本類型：①f(x)為整式：定義域為R；②f(x)為分式：定義域為分母不為0；③f(x
14、)為偶次根式：定義域為根號下≥0；④f(x)＝x0：定義域為x≠0
