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《解超定方程組的矩陣形式為.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第六章習(xí)題解答與問題一、習(xí)題解答1．用最小二乘法求解超定方程組解：超定方程組的矩陣形式為將方程兩端同乘以系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣,可得正規(guī)方程組解之,得x=2.9774，y=1。2259。2．觀測一個作直線運動的物體，測得以下數(shù)據(jù)：時間t00。91.93.03.95。0距離S010305080110在表中，時間單位為秒，距離單位為米。假若加速度為常數(shù)，求這物體的初速度和加速度。解：設(shè)物體運動的初速度和加速度分別為v0和a，初始時刻距離為0,則距離函數(shù)為用后5個點的數(shù)據(jù)作曲線擬合t0.91.93。03.95.0S10305080110可得，v0=10。6576，a=4.62693．用最小二乘法求一個
2、形如的經(jīng)驗公式，使與下列數(shù)據(jù)相擬合x1234y60302015解：令z=lny，則z=lnA+Bx。數(shù)據(jù)變換如下x1234z=lny4。09433。40122.99572.7081由最小二乘法作線性擬合得，lnA=4。4409，B=—0。4564。所以A=84.8528.故，所求經(jīng)難公式為=84。25e–0。4564x。4已知實驗觀測數(shù)據(jù)(xi，yi）（i=1，2，…,m)。令,取擬合函數(shù)為試?yán)们€擬合的最小二乘法確定組合系數(shù)a0，a1（推導(dǎo)出計算公式）.解：記顯然,是元素全為“1”的列向量。將所有實驗數(shù)據(jù)的X坐標(biāo)代入擬合函數(shù)，并令其分別等于實驗數(shù)據(jù)的Y坐標(biāo)值,得超定方程組將方程組兩端同乘
3、以矩陣,得正規(guī)方程組記，由于系數(shù)矩陣中兩個非對角元素為所以，5．對某個物體的長度測量n次后，得n個近似值x1，x2,……xm,通常取平均值作為所求長度的值.試用最小二乘法原理說明其理由。解:利用最小二乘原理,設(shè)物體的長度為x，記dk=x–xk(k=1，2，……，m)則殘差平方和為為了求上面函數(shù)極小值，由極值必要條件，令S'（x)=0,得由此得6．求f（x）=ex在區(qū)間[–1，1]上的三次最佳逼近多項式。解：利用勒讓德多項式作基函數(shù)，即P(x）=a0p0(x）+a1p1(x）+a2p2(x)+a3p3（x)，其中p0(x）=1，p1(x）=x，，利用正交性，得系數(shù)為（n=0，1,2，3)而1.
4、1752，1.1036，0。3578,0。0705所以，P(x)=1。1752+1。1036x+0.3578+0.0705=0。9963+0.9978x+0。5367x2+0.1762x37．在著名的高次插值的龍格反例中,在區(qū)間［–5，5］上的10次拉格朗日插值出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。為了使插值余項極小化，可以利用切比雪夫多項式的極性。試推導(dǎo)11次切比雪夫多項式零點所對應(yīng)[–5，5]的上的插值結(jié)點。解：由11次切比雪夫多項式零點,得（k=0，1,2，……，10)二、例題1．已知實驗數(shù)據(jù)如下：X1234Y10305080求二次多項式擬合函數(shù)P(x)=a+bx22．利用數(shù)據(jù)表t–2–1012yyk—2yk
5、-1ykyk+1yk+2構(gòu)造五點二次擬合函數(shù)P（t)=a0+a1t+a2t2時,需求超定方程組的最小二乘解，試列出超定方程組并導(dǎo)出對應(yīng)的正規(guī)方程組（不用求解正規(guī)方程組）。解：超定方程組為:，正規(guī)方程組為：其中，b1=yk—2+yk-1+yk+yk+1+yk+2,b2=-2yk—2–yk-1–yk+1+2yk+2，b3=4yk—2+yk—1+yk+1+4yk+23．求區(qū)間［–1,1]上的二次正交多項式4．正交化過程5．練習(xí)題1．設(shè)B點是線段AC上的一點，記AB長為x1，BC長為x2，經(jīng)測量得數(shù)據(jù)如下：AB=15.5，BC=6。1，AC=20。9試用最小二乘原理計算出x1,x2的長度.2．求a，
6、b使最小。3．利用數(shù)據(jù)表t–2–1012yyk—2yk—1ykyk+1yk+2構(gòu)造五點線性擬合函數(shù)P(t）=a0+a1t時，需求超定方程組的最小二乘解，試列出超定方程組并導(dǎo)出對應(yīng)的正規(guī)方程組。求常數(shù)項系數(shù)a0。
