高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)大學(xué))課件下第12_5全微分方程

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全微分方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五節(jié)一、全微分方程二、積分因子法第十二章 判別:P,Q在某單連通域D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),①為全微分方程則求解步驟:方法1湊微分法;方法2利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件.1.求原函數(shù)u(x,y)2.由du=0知通解為u(x,y)=C.一、全微分方程則稱為全微分方程(又叫做恰當(dāng)方程).①機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例1.求解解:因?yàn)楣蔬@是全微分方程.則有因此方程的通解為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例2.求解解:∴這是一個(gè)全微分方程.用湊微分法求通解.將方程改寫(xiě)為即故原方程的通解為或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 二、積分因子法思考:如何解方程這不是一個(gè)全微分方程,就化成例2的方程.使為全微分方程,在簡(jiǎn)單情況下,可憑觀察和經(jīng)驗(yàn)根據(jù)微分倒推式得到為原方程的積分因子.但若在方程兩邊同乘若存在連續(xù)可微函數(shù)積分因子.例2目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 常用微分倒推公式:積分因子不一定唯一.例如,對(duì)可取機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 例3.求解解:分項(xiàng)組合得即選擇積分因子同乘方程兩邊,得即因此通解為即因x=0也是方程的解,故C為任意常數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 作業(yè)P2851(2),(4),(7);2(2),(5);4習(xí)題課1目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 備用題解方程解法1積分因子法.原方程變形為取積分因子故通解為此外,y=0也是方程的解.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 解法2化為齊次方程.原方程變形為積分得將代入,得通解此外,y=0也是方程的解.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束 解法3化為線性方程.原方程變形為其通解為即此外,y=0也是方程的解.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

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