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《淺談構(gòu)造法在數(shù)列問題中的應(yīng)用》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、淺談“構(gòu)造法”在數(shù)列問題中的應(yīng)用金峰在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)列的內(nèi)容不多，但在高考中，數(shù)列內(nèi)容卻占有重要的地位。主要內(nèi)容有一般數(shù)列的概念與性質(zhì)，等差數(shù)列與等比數(shù)列，及其通項公式與前n項和公式．高考歷來把數(shù)列當(dāng)作重要的內(nèi)容來考查，對這部分的要求達到相應(yīng)的深度，題目有適當(dāng)?shù)碾y度和一定的綜合程度．?dāng)?shù)列問題在考查演繹推理能力中發(fā)揮著越來越重要的作用．在高考中，基本上考數(shù)列必考遞推數(shù)列.而從遞推公式得到數(shù)列的通項公式是解決數(shù)列問題的關(guān)鍵，也是問題的難點，怎樣解決這些問題呢？在很多時候使用構(gòu)造法應(yīng)當(dāng)是解決這種問題的一種較好的方法。下面，我們介紹幾種常見的“構(gòu)造
2、法”解決數(shù)列的問題的方法.一、對于簡單的的遞推關(guān)系，我們可以構(gòu)造一個新的數(shù)列，可知必為等比數(shù)列，我們可以用待定系數(shù)法確定的值。例在數(shù)列中，已知，（1）求的通項公式；（2）求的前項和.解：我們不妨構(gòu)建一個新的數(shù)列，則可化為由待定系數(shù)法可解得為等比數(shù)列，且首項，公比（2）二、若已知的遞推關(guān)系,不妨構(gòu)建一個新數(shù)列(為常數(shù)),,則必為等比數(shù)列.例:已知數(shù)列的前n項和滿足：⑴寫出數(shù)列的前三項⑵求數(shù)列的通項公式.解:(1)不難求出:，，。（2）兩式相減可得：不妨構(gòu)造數(shù)列故上式可化為展開可得：為公比為2，首項為的等比數(shù)列。數(shù)列的通項公式為：三若已知的遞推
3、關(guān)系,不妨構(gòu)造一個新數(shù)列,則必為等差數(shù)列。例：在數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式。解：（分析：只需將式子左右兩邊同時除以，便可以構(gòu)造一個新的數(shù)列）左右兩邊同時除以得：既：數(shù)列為一個等差數(shù)列：其首項為，公差為1。四．若已知的遞推關(guān)系,不妨構(gòu)建一個新數(shù)列,則必有特殊的性質(zhì)。例：（2009年全國卷Ⅰ）在數(shù)列中，（1）、設(shè)，求的通項公式。（2）、求的前項和。分析：此題目為降低難度，令，事實上，已經(jīng)給了我們一個思考的方向，即構(gòu)建一個新數(shù)列。解：左右兩邊同除以可得：即將上述個式子迭加可得：（2）我們利用分組求和和倒序相加法，可以求得數(shù)列的前項和五、若已知滿足
4、，，則可構(gòu)造一個新數(shù)列,則原式可化為：，其中可用待定系數(shù)法求出。然后可以求出的通項公式。例：（2009年全國卷Ⅱ）在數(shù)列中，的前項和為，（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。（2）求的通項公式。分析：此題目為降低難度，令，事實上，也已經(jīng)給了我們一個思考的方向，即構(gòu)建一個新數(shù)列。解：（1）兩式相減可得：又，數(shù)列是一個等比數(shù)列。首項為3，公比為2。（1）由（1）可知：（分析：這屬于我們前面討論過的第三種形式，只需將式子左右兩邊同時除以，便可以構(gòu)造一個新的數(shù)列。左右兩邊同除以得：數(shù)列為等差數(shù)列，其首項為，公差為六、若滿足（為常數(shù)），則可構(gòu)造一個新數(shù)列,
5、則原式可化為：，數(shù)列必為等差數(shù)列。我們可以求出的通項公式，然后可以求出的通項公式。例：數(shù)列滿足，（1）、求證：數(shù)列是等差數(shù)列。（2）求數(shù)列的前和。解：由整理得：左右兩邊同時除以可得：又數(shù)列是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列（2）、由（1）可知，總之，要解決遞推數(shù)列的問題，一般要完成從遞推公式到通項公式的轉(zhuǎn)化.除,這樣簡單的式子以外,我們都要構(gòu)造新的數(shù)列才能找到它們之間的規(guī)律.而怎么去構(gòu)造新的數(shù)列這是一個思路很廣的問題,以上討論的這些僅僅是冰山一角.更多的方法需要我們更多的人去總結(jié)和發(fā)現(xiàn).
