江西省九江十校2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理） Word版含解析.docx

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江西省“九江十?！?023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先解出，根據(jù)補(bǔ)集的運算求出，然后根據(jù)交集的運算，即可得出答案.【詳解】解可得，，所以.又，所以.所以.故選：B.2.若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是，則的虛部是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)除法求出，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義寫出，然后計算出，得到虛部.【詳解】復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是，，，，則的虛部是.故選：D3.2022年三九天從農(nóng)歷臘月十八開始計算，也就是2023年1月9日至17 日，是我國北方地區(qū)一年中最冷的時間．下圖是北方某市三九天氣預(yù)報氣溫圖，則下列對這9天判斷錯誤的是（）A.晝夜溫差最大為12℃B.晝夜溫差最小為4℃C.有3天晝夜溫差大于10℃D.有3天晝夜溫差小于7℃【答案】C【解析】【分析】直接看圖求出每天的晝夜溫差即可判斷得解.【詳解】A.1月11日晝夜溫差最大為12℃，所以該選項正確；B.1月15日晝夜溫差最小為4℃，所以該選項正確；C.1月11日、1月16日有2天晝夜溫差大于10℃，所以該選項錯誤；D.1月9日、1月14日、1月15日有3天晝夜溫差小于7℃，所以該選項正確.故選：C4.已知，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用降冪公式，再利用二倍角公式化簡即得解.【詳解】由已知，化簡得．平方得，所以．故選：A．5.函數(shù)的部分圖象大致為（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判斷的奇偶性，再根據(jù)時的函數(shù)值的符號判斷圖象.【詳解】因為，，所以，故函數(shù)的為奇函數(shù)，排除BD；又所以，故A錯誤.故選：C6.在中，，，若D是BC的中點，則（）A.1B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】運用向量的加法、相反向量、向量的數(shù)量積運算即可得結(jié)果.【詳解】∵D為BC的中點，∴，，∴∴．故選：B.7.已知函數(shù)圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將函數(shù) 的圖象向左平移個單位后，得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)的一個對稱中心是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得出，.然后根據(jù)平移得到的圖象.由，結(jié)合的取值，即可得出.代入檢驗，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，，所以.將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，所得函數(shù)的圖象.因為得到的圖象關(guān)于軸對稱，所以，即，又，所以，所以.對于A項，因為，所以點不是函數(shù)的對稱中心，故A項錯誤；對于B項，因為，所以點不是函數(shù)的對稱中心，故B項錯誤；對于C項，因為，所以點是函數(shù)的對稱中心，故C項正確；對于D項，因為，所以點不是函數(shù)的對稱中心，故D項錯誤.故選：C.8.設(shè)函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集是（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，由此求得不等式的解集.【詳解】設(shè)，，即，，在上單調(diào)遞減，又，不等式，即，，原不等式的解集為.故選：D【點睛】有關(guān)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式問題，求解方法是通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等進(jìn)行研究，由此對問題進(jìn)行求解.9.在銳角中，，，若在上的投影長等于的外接圓半徑，則（）A.4B.2C.1D.【答案】B【解析】【分析】由題知，，進(jìn)而得，即，再結(jié)合正弦定理求解即可.【詳解】∵是銳角三角形，在上的投影長等于的外接圓半徑，，又，，，， 兩式相加得：，即，，即，又，，.故選：B.10.已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列不等關(guān)系中正確的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】觀察選項的式子的特點，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷單調(diào)區(qū)間，根據(jù)增減性判斷函數(shù)值的大小，化簡變換后即可選出結(jié)果.【詳解】先判斷，及，大小，即及的大小，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，在內(nèi)單減；當(dāng)時，在內(nèi)單增.因此，故，故，，所以，故選：A.11.已知正方體的棱長為1，，分別是棱和棱的中點，為棱上的動點（不含端點）.①三棱錐的體積為定值；②當(dāng)為棱的中點時，是銳角三角形；③面積的取值范圍是；④若異面直線與所成的角為，則.以上四個命題中正確命題的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】結(jié)合判斷①；設(shè)中點為，若為中點，證明即可判斷②；在側(cè)面內(nèi)作垂足為，設(shè)到的距離，故面積為 ，進(jìn)而判斷③；取中點為，連接，進(jìn)而得異面直線與所成的角即為，再討論范圍即可.【詳解】解：因為，點到平面的距離為定值，是定值，則三棱錐的體積為定值，故①選項正確；設(shè)中點為，若為中點，由正方體的性質(zhì)，有，，，平面所以平面，平面，則，因為，所以，所以是直角三角形，故選項②不正確；在側(cè)面內(nèi)作垂足為，設(shè)到的距離，則邊上的高為，故其面積為，當(dāng)與重合時，，，當(dāng)與重合時，，，故選項③正確；取中點為，連接，因為，所以異面直線與所成的角即為，在直角三角形中，，當(dāng)為中點時，，當(dāng)與，重合時，，故，，所以選項④正確， 故命題正確的個數(shù)為3.故選：C.12.已知拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，斜率為的直線與的兩個交點為，.若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出雙曲線的交點坐標(biāo)，求出拋物線方程中的參數(shù)，得拋物線方程設(shè)直線方程為，，直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，消去得的二次方程，由韋達(dá)定理得，由判別式得的不等關(guān)系，由拋物線定義得，，這樣可得關(guān)系代入判別式得關(guān)于的不等式，解之可得結(jié)論．【詳解】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，其右焦點是.所以，，拋物線是，設(shè)直線方程為，，由消去，化簡整理得，因此，由得，，.因為，所以，即.，即，解得.代入得到，，或.故選：A．【點睛】思路點睛：本題考查直線與拋物線相交問題，解題關(guān)鍵是利用設(shè)而不求的思想方法，設(shè)直線直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組后，由韋達(dá)定理得 ，由判別式得不等關(guān)系，利用拋物線的定義與已知條件求得后得參數(shù)關(guān)系，代入判別式可得參數(shù)的范圍．在直線與圓錐曲線的問題中這是基本方法．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.2022年12月18日在卡塔爾世界杯決賽中，阿根廷隊以總分7比5戰(zhàn)勝法國隊，歷時28天的2022卡塔爾世界杯也緩緩落下了帷幕．隨后某電視臺輪流播放半決賽及以后的這4場足球賽（如圖），某人隨機(jī)選3場進(jìn)行觀看，其中恰好總決賽、季軍賽被選上的概率為______．【答案】##0.5【解析】【分析】4場足球賽，選3場進(jìn)行觀看，基本事件共4個，其中恰好總決賽、季軍賽被選上的基本事件數(shù)有2個，求出概率即可.【詳解】由圖可知：比賽共有4場，半決賽2場，季軍賽1場，總決賽1場．選其中3場的基本事件共有4種，其中季軍賽、總決賽被選上的基本事件共有2種，故概率為．故答案為：.14.已知，與一條坐標(biāo)軸相切，圓心在直線上.若與相切，則的一個方程為________.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】先根據(jù)已知得出的圓心在的外面.然后分與軸相切以及與軸相切，結(jié)合已知可得出兩圓外切.列出方程，化簡整理求解，即可得出答案.【詳解】由已知可得，的圓心為，半徑， 所以點到直線的距離，所以，直線與圓相離，所以的圓心在的外面.當(dāng)與軸相切時，設(shè)圓心，則的半徑.因為與相切，且在的外面，所以兩圓外切.所以，即，整理可得，.若，整理可得無解，所以，所以，解得或，所以方程為或；當(dāng)與軸相切時，設(shè)圓心，則的半徑.由兩圓外切可得，，即，整理可得，則，所以有，解得或，所以方程為或.故答案為：.15.已知圓錐軸截面為等邊三角形，是底面的內(nèi)接正三角形，點在上，且.若平面，則實數(shù)__________.【答案】##【解析】【分析】延長交圓于點，設(shè)，求出三邊邊長，分析可知 ，利用勾股定理可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】如圖，延長交圓于點，由題意可知，、均為等邊三角形，設(shè)，由正弦定理可得，則，易知為的中點，則，，則，，因為平面，平面，所以，，在中，由勾股定理得，即，解得.故答案為：.16.著名科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應(yīng)用廣泛.其定義是：對于函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“牛頓數(shù)列”.已知函數(shù)，數(shù)列為“牛頓數(shù)列”，，且，，則________.【答案】【解析】【分析】由已知可推得，進(jìn)而得出，即可推得，所以為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列即可得出答案. 【詳解】由得，.所以，，，因此，所以，即，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故.故答案為：128.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.設(shè)數(shù)列的前項和為，，是等比數(shù)列，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用與之間的關(guān)系，可得數(shù)列的通項公式；（2）利用等比數(shù)列的通項公式可得，利用裂項相消法與分組求和法可得.【小問1詳解】，當(dāng)時，， 當(dāng)時，，，當(dāng)時，符合上式，故數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】由（1）得，則，，，在等比數(shù)列中，公比，，，數(shù)列的前項和.18.甲、乙兩人各有一只箱子.甲的箱子里放有大小形狀完全相同的3個紅球、2個黃球和1個藍(lán)球.乙的箱子里放有大小形狀完全相同的x個紅球、y個黃球和z個藍(lán)球，.現(xiàn)兩人各從自己的箱子里任取一球，規(guī)定同色時乙勝，異色時甲勝.（1）當(dāng)，，時，求乙勝的概率；（2）若規(guī)定：當(dāng)乙取紅球、黃球和藍(lán)球獲勝的得分分別是1分、2分和3分，否則得零分.求乙得分均值的最大值，并求此時x，y，z的值.【答案】（1）（2）乙得分均值的最大值為，此時，【解析】【分析】（1）設(shè)出事件，根據(jù)古典概型概率公式求得事件概率，進(jìn)而表示出事件乙勝，根據(jù)獨立事件以及互斥事件，即可求出答案；（2）用隨機(jī)變量來表示乙得分，則可取.然后分別計算得出取 時的概率，根據(jù)期望公式求出即可得出，根據(jù)已知結(jié)合的取值范圍，即可得出答案.【小問1詳解】記“甲取紅球”為事件，“甲取黃球”為事件，“甲取藍(lán)球”為事件，“乙取紅球”為事件，“乙取紅球”為事件，“乙取紅球”為事件，則由已知可得，，，，，，.由已知，乙勝可以用事件來表示，根據(jù)獨立事件以及互斥事件可知，.【小問2詳解】由題意知，，，.用隨機(jī)變量來表示乙得分，則可取,則，，，所以.所以.因為，所以，且，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，時，等號成立.所以，乙得分均值的最大值為，此時，，.19.如圖,在直三棱柱中，平面，其垂足落在直線上．（1）求證： （2）若為的中點，求二面角的平面角的余弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）先通過條件證明平面，然后得到；（2）以B為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解二面角的余弦值.【詳解】（1）三棱柱為直三棱柱，平面，又平面，平面，且平面，，又平面,平面，，平面，又平面，（2）由（1）知平面，平面,從而如圖,以B為原點建立空間直角坐標(biāo)系,平面，其垂足落在直線.在，在直三棱柱.在,則(0,0,0),,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,（0，2，2）設(shè)平面的一個法向量則即可得平面的一個法向量,二面角平面角的余弦值是. 【點睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明和二面角的求解，二面角一般是利用法向量來求解，側(cè)重考查直觀想象，邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).20.已知函數(shù)，其中，．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個極值點，求a的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）由時，得到，然后利用導(dǎo)數(shù)法求解；（2）由，令，求導(dǎo)，由得到，令，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【小問1詳解】解：當(dāng)時，，．因為，所以，，因此，故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增．【小問2詳解】，令，則．由得，．顯然不是的根． 當(dāng)時，．令，則．由得．當(dāng)或時，；當(dāng)時，，且，．所以極大值是．由圖知，當(dāng)或時，直線與曲線在內(nèi)有唯一交點或，且在附近，，則；在附近，，則．因此是在內(nèi)唯一極小值點．同理可得，是在內(nèi)唯一極大值點．故a的取值范圍是．【點睛】方法點睛：關(guān)于極值點問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點再結(jié)合極值點的定義求解.21.已知，為橢圓C：的左右焦點，P為橢圓C上一點．若為直角三角形，且 ．（1）求的值；（2）若直線l：與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線經(jīng)過點，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理，得到，再利用橢圓的定義，可得，化簡可得答案.（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理得到弦AB中點M的坐標(biāo)是，再利用線段AB的垂直平分線經(jīng)過點，列出相應(yīng)的方程并消去參數(shù)，借助判別式得到的范圍.【小問1詳解】若，則．因為，，解得，．因此．若，則，解得．因此．綜上知，或．【小問2詳解】設(shè)，，聯(lián)立，消去y得到， ，即．則，，弦AB中點M的坐標(biāo)是．由得，．另一個方面，直線PM的方程是．點在此直線上，故，整理得，．代入中，，．又，，所以，．故實數(shù)m的取值范圍是．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題做答.如果多做，則按所做的第一題計分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，，以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為，?為的左?右焦點，過點的直線與曲線相交于A，兩點.（1）當(dāng)時，求的參數(shù)方程；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（為參數(shù)）（2） 【解析】【分析】（1）利用，代入曲線的極坐標(biāo)方程可得其直角坐標(biāo)方程可得、、的坐標(biāo)，求出直線的斜率、傾斜角，在上任取一點，設(shè)有向線段的長為可得直線的參數(shù)方程；（2）將的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，根據(jù)的值可得答案.【小問1詳解】，，曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，，，，直線的斜率：，時，直線的傾斜角為，在上任取一點，設(shè)有向線段的長為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；【小問2詳解】將參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程得，即，設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，故,因為，所以，則，故，所以.選修4-5：不等式選講 23.設(shè)函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求曲線與直線圍成的三角形的面積；（2）若，且不等式的解集是，求的值.【答案】（1）64（2）【解析】【分析】（1）由題知，進(jìn)而分別求解相應(yīng)交點，計算距離，再計算面積即可；（2）分和兩種情況求解得的解集為，進(jìn)而結(jié)合題意求解即可.【小問1詳解】解：根據(jù)題意，當(dāng)時，，所以，，設(shè)；直線與交于點，與直線交于點，且，點到直線的距離，所以，要求圖形的面積；【小問2詳解】解：當(dāng)時，，，即，解可得，此時有，當(dāng)時，，，即，解可得，又由，則，此時有，綜合可得：不等式的解集為，因為不等式的解集是所以，，解可得；所以，.