江西省九江十校2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文） Word版含解析.docx

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2023年江西省九江市十校高考第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（文科）一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合|，集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先化簡集合M，再利用集合的并集運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，故選：B．2.若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是，則的虛部是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)除法求出，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義寫出，然后計(jì)算出，得到虛部.【詳解】復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是，，，，則的虛部是.故選：D3.2022年三九天從農(nóng)歷臘月十八開始計(jì)算，也就是2023年1月9日至17日，是我國北方地區(qū)一年中最冷的時(shí)間．下圖是北方某市三九天氣預(yù)報(bào)氣溫圖，則下列對(duì)這9天判斷錯(cuò)誤的是（） A.晝夜溫差最大為12℃B.晝夜溫差最小為4℃C.有3天晝夜溫差大于10℃D.有3天晝夜溫差小于7℃【答案】C【解析】【分析】直接看圖求出每天的晝夜溫差即可判斷得解.【詳解】A.1月11日晝夜溫差最大為12℃，所以該選項(xiàng)正確；B.1月15日晝夜溫差最小為4℃，所以該選項(xiàng)正確；C.1月11日、1月16日有2天晝夜溫差大于10℃，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.1月9日、1月14日、1月15日有3天晝夜溫差小于7℃，所以該選項(xiàng)正確.故選：C4.已知，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用降冪公式，再利用二倍角公式化簡即得解.【詳解】由已知，化簡得．平方得，所以．故選：A．5.函數(shù)的部分圖象大致為（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，并判斷時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由，所以為奇函數(shù)，排除；當(dāng)時(shí)，，，故，排除.故選：.6.在中，，，若D是BC的中點(diǎn)，則（）A.1B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用向量的加法、相反向量、向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得結(jié)果.【詳解】∵D為BC的中點(diǎn)，∴，，∴∴．故選：B. 7.已知函數(shù)圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，得到周期為，進(jìn)而得到，再利用平移變換得到圖象，然后根據(jù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求得解析式即可.【詳解】解：由函數(shù)圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，可知其周期為，所以，所以．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)圖象．因?yàn)榈玫降膱D象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以，，即，．又，所以，所以．由得，，即．故選：B．8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，由此求得不等式的解集.【詳解】設(shè)，，即，，在上單調(diào)遞減，又，不等式，即，，原不等式的解集為.故選：D【點(diǎn)睛】有關(guān)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式問題，求解方法是通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等進(jìn)行研究，由此對(duì)問題進(jìn)行求解.9.在銳角中，，，若在上的投影長等于的外接圓半徑，則（）A.4B.2C.1D.【答案】B【解析】【分析】由題知，，進(jìn)而得，即，再結(jié)合正弦定理求解即可.【詳解】∵是銳角三角形，在上的投影長等于的外接圓半徑，，又，，，，兩式相加得：，即， ，即，又，，.故選：B.10.已知是自然對(duì)數(shù)底數(shù)，則下列不等關(guān)系中正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合該函數(shù)的最大值，賦值進(jìn)行判斷.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，所以，令，得，所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以所以，所以，，，所以，，，所以，，，所以，，所以，，，所以，，，故B錯(cuò)誤，C正確，D錯(cuò)誤；所以，故A錯(cuò)誤；故選：C11.已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在x軸上截得的弦AB的長為8．過此動(dòng)圓圓心軌跡C上一個(gè)定點(diǎn) 引它的兩條弦PS，PT，若直線PS，PT的傾斜角互為補(bǔ)角，記直線ST的斜率為k，則（）A.4B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知先求出動(dòng)圓圓心軌跡C的軌跡方程，代入點(diǎn)求出，根據(jù)直線PS，PT的傾斜角互為補(bǔ)角，斜率互為相反數(shù)關(guān)系求出k，從而得出結(jié)果.【詳解】設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為C，已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在x軸上截得的弦AB的長為8，則．整理得，，故動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為．因此，．當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，則有，．于是就是，所以．此時(shí)直線ST的斜率，故．同理可得，當(dāng)時(shí)，直線ST的斜率．故．故選：C．12.已知正方體的棱長為1，，分別是棱和棱的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.①三棱錐的體積為定值；②當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，是銳角三角形；③面積的取值范圍是；④若異面直線與所成的角為，則.以上四個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4 【答案】C【解析】【分析】結(jié)合判斷①；設(shè)中點(diǎn)為，若為中點(diǎn)，證明即可判斷②；在側(cè)面內(nèi)作垂足為，設(shè)到的距離，故面積為，進(jìn)而判斷③；取中點(diǎn)為，連接，進(jìn)而得異面直線與所成的角即為，再討論范圍即可.【詳解】解：因?yàn)椋c(diǎn)到平面的距離為定值，是定值，則三棱錐的體積為定值，故①選項(xiàng)正確；設(shè)中點(diǎn)為，若為中點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)，有，，，平面所以平面，平面，則，因?yàn)椋?，所以是直角三角形，故選項(xiàng)②不正確；在側(cè)面內(nèi)作垂足為，設(shè)到的距離，則邊上的高為，故其面積為，當(dāng)與重合時(shí)，，，當(dāng)與重合時(shí)，，，故選項(xiàng)③正確；取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋援惷嬷本€與所成的角即為， 在直角三角形中，，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)與，重合時(shí)，，故，，所以選項(xiàng)④正確，故命題正確的個(gè)數(shù)為3.故選：C.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.命題p：“?x∈R，x2﹣x+1＞0”，則?p為_____．【答案】?x∈R，x2﹣x+1≤0．【解析】【詳解】試題分析：利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可．解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以命題p：“?x∈R，x2﹣x+1＞0”，則?p為：?x∈R，x2﹣x+1≤0．故答案為?x∈R，x2﹣x+1≤0．考點(diǎn)：命題的否定．14.過點(diǎn)作斜率為k的直線l交雙曲線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，則實(shí)數(shù)k的值為______．【答案】##【解析】【分析】聯(lián)立得到韋達(dá)定理，解方程，再檢驗(yàn)即得解.【詳解】由題意可設(shè)l的方程為．聯(lián)立消去y得，．顯然．設(shè)，，則，解得．由得，顯然不適合，適合．故答案為：15.已知圓錐的軸截面為等邊三角形，是底面的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)在上，且 .若平面，則實(shí)數(shù)__________.【答案】##【解析】【分析】延長交圓于點(diǎn)，設(shè)，求出三邊邊長，分析可知，利用勾股定理可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】如圖，延長交圓于點(diǎn)，由題意可知，、均為等邊三角形，設(shè)，由正弦定理可得，則，易知為的中點(diǎn)，則，，則，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，在中，由勾股定理得，即，解?故答案為：.16.著名科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應(yīng)用廣泛.其定義是：對(duì)于函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，若函數(shù)，，且，則__________.【答案】【解析】 【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意得到，從而得到，即可得到為等差數(shù)列，從而得解.【詳解】，，，，即，又，數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為1，.故答案為：.三?解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是等比數(shù)列，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用與之間的關(guān)系，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，利用裂項(xiàng)相消法與分組求和法可得.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，， 當(dāng)時(shí)，符合上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】由（1）得，則，，，在等比數(shù)列中，公比，，，數(shù)列的前項(xiàng)和.18.某省電視臺(tái)為及時(shí)向人民群眾傳達(dá)二十大精神，在二十大召開期間，決定調(diào)整播放節(jié)目.現(xiàn)對(duì)收看曲藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的喜愛與否作抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了100名電視觀眾，相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示：喜愛性別曲藝節(jié)目新聞節(jié)目男性1527女性4018（1）用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機(jī)抽取5名，則女性觀眾應(yīng)該抽取幾名？（2）在上述抽取的5名觀眾中任取2名參加座談會(huì)，求恰有1名男性觀眾的概率；（3）試判斷是否有的把握認(rèn)為，性別與喜愛節(jié)目的類型有關(guān)？參考公式：.其中.參考數(shù)據(jù)： 0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）2名（2）（3）有的把握認(rèn)為，性別與喜愛節(jié)目的類型有關(guān)【解析】【分析】（1）利用分層抽樣的計(jì)算公式進(jìn)行求解；（2）結(jié)合（1）中數(shù)據(jù)，利用古典概型概率公式求解；（3）結(jié)合題干數(shù)據(jù)和公式，算出，然后得出結(jié)論.【小問1詳解】用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目觀眾中隨機(jī)抽取5名，則女性觀眾應(yīng)該抽取名.【小問2詳解】由（1）得5人中由男性觀眾3人，女性觀眾2人，根據(jù)古典概型概率公式：任取2名參加座談會(huì)，恰有1名男性觀眾的概率為.【小問3詳解】根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下的列聯(lián)表：曲藝節(jié)目新聞節(jié)目總計(jì)男性152742女性401858總計(jì)5545100，所以有的把握認(rèn)為，性別與喜愛節(jié)目的類型有關(guān).19.如圖，四邊形是正方形，是矩形，平面平面，， 是上一點(diǎn)，且.（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面平面；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由已知根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，進(jìn)而得出.根據(jù)勾股定理證明，然后證明平面，即可根據(jù)面面垂直的定義，得出證明；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo).求出平面的法向量和，即可根據(jù)向量法求出夾角的正弦值，根據(jù)正余弦的關(guān)系，得出余弦值.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所?又平面平面，且平面平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，此時(shí)，，則，所以，，所以有，所以.又，平面，平面，所以平面.因?yàn)槠矫妫?所以，平面平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由已知，可得，所以，，，，所以，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，取，得.設(shè)與平面所成角，則，所以.所以與平面所成角的余弦值為.20.已知為橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)引圓兩條切線?，切點(diǎn)分別為，直線與軸?軸分別交于點(diǎn)?.（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，求直線的方程；（2）求面積的最小值為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先求切線的方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的方程.（2）求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求得面積的表達(dá)式，利用基本不等式求得面積的最小值.【小問1詳解】先求在圓上一點(diǎn)的切線方程：設(shè)圓的方程為，圓心為，半徑為，設(shè)是圓上的一點(diǎn)，則①，設(shè)是圓在處的切線方程上任意一點(diǎn)，則，即②，并整理得，即圓在處的切線方程為.根據(jù)題意，設(shè)，，，，，，是圓的切線且切點(diǎn)為，則的方程為，同理的方程為，又由?交于點(diǎn)，則有，，則直線的方程為.【小問2詳解】要使圍成三角形，則不是橢圓的頂點(diǎn)，所以，由（1）可得的坐標(biāo)為，，的坐標(biāo)為， ，又由點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（非頂點(diǎn)），則有，則有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，即面積的最小值為.21.已知函數(shù)，其中，．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）由時(shí)，得到，然后利用導(dǎo)數(shù)法求解；（2）由，令，求導(dǎo)，由得到，令，利用數(shù)形結(jié)合法求解. 【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，．因?yàn)?，所以，，因此，故函?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增．【小問2詳解】，令，則．由得，．顯然不是的根．當(dāng)時(shí)，．令，則．由得．當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且，．所以極大值是．由圖知，當(dāng)或時(shí)，直線與曲線在內(nèi)有唯一交點(diǎn)或，且在附近，，則； 在附近，，則．因此是在內(nèi)唯一極小值點(diǎn)．同理可得，是在內(nèi)唯一極大值點(diǎn)．故a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：關(guān)于極值點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)再結(jié)合極值點(diǎn)的定義求解.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22?23題中任選一題做答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為，?為的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與曲線相交于A，兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求的參數(shù)方程；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（為參數(shù)）（2）【解析】【分析】（1）利用，代入曲線的極坐標(biāo)方程可得其直角坐標(biāo)方程可得、、的坐標(biāo)，求出直線的斜率、傾斜角，在上任取一點(diǎn)，設(shè)有向線段的長為可得直線的參數(shù)方程；（2）將的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，根據(jù)的值可得答案.【小問1詳解】，， 曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，，，，直線的斜率：，時(shí)，直線的傾斜角為，在上任取一點(diǎn)，設(shè)有向線段的長為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；【小問2詳解】將的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程得，即，設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，故,因?yàn)?，所以，則，故，所以.選修4-5：不等式選講23.設(shè)函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線與直線圍成的三角形的面積；（2）若，且不等式的解集是，求的值.【答案】（1）64（2）【解析】【分析】（1）由題知，進(jìn)而分別求解相應(yīng)的交點(diǎn)，計(jì)算距離，再計(jì)算面積即可；（2）分和兩種情況求解得的解集為，進(jìn)而結(jié)合題意求解即可.【小問1詳解】 解：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，所以，，設(shè)；直線與交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，且，點(diǎn)到直線的距離，所以，要求圖形面積；【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，即，解可得，此時(shí)有，當(dāng)時(shí)，，，即，解可得，又由，則，此時(shí)有，綜合可得：不等式的解集為，因?yàn)椴坏仁降慕饧撬?，，解可得；所以?