四川省宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)（理）Word版含解析.docx

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敘州區(qū)一中2022-2023學(xué)年高二上期期末模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上.2.考試結(jié)束后，將本試卷自己保管，答題卡交回.3.考試時(shí)間：120分鐘第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某高中共有學(xué)生1200人，其中高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校所有學(xué)生中抽取一個(gè)容量為60的樣本，則高三年級應(yīng)該抽?。ǎ┤?A.16B.18C.20D.24【答案】A【解析】【分析】由已知可求得抽樣比為，再求出高三的學(xué)生數(shù)，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)高一學(xué)生數(shù)為，則高二學(xué)生數(shù)為，高三學(xué)生數(shù)為.所以，該高中共有學(xué)生數(shù)為，解得.用分層抽樣的方法從該校所有學(xué)生中抽取一個(gè)容量為60的樣本，抽樣比為，所以，高三年級應(yīng)該抽取人.故選：A.2.設(shè)，且則下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)或0舉反例，結(jié)合不等式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.【詳解】對A，當(dāng)時(shí)，但，故A錯(cuò)誤；對B，當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤； 對C，當(dāng)時(shí)，但，故C錯(cuò)誤；對D，則，故D正確；故選：D3.已知?jiǎng)tx＋2y的最大值為（）A.2B.3C.5D.6【答案】C【解析】【分析】作出可行域，根據(jù)簡單線性規(guī)劃求解即可．【詳解】作出可行域如圖：由可得：，平移直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最大值，由解得，．故選：C4.“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B 【解析】【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識確定正確答案.【詳解】設(shè),由于ü，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.在嶗山的山腳下臨海斷崖南側(cè)，距岸百米處有一座石柱，形如老人坐在碧波之中，人稱“石老人”.老人以手托腮，注目凝神，每天晨迎旭日，暮送晚霞，伴著潮起潮落，歷盡滄桑，不知度過了多少歲月.這個(gè)由大自然鬼斧神工雕鑿的藝術(shù)杰作，已成為石老人國家旅游度假區(qū)的重要標(biāo)志，若該景區(qū)在開放時(shí)間內(nèi)，每半個(gè)小時(shí)會有一趟觀光車從景區(qū)入口發(fā)車，有一名學(xué)生周日上午某時(shí)刻到達(dá)景區(qū)入口，準(zhǔn)備乘坐觀光車，則他等待時(shí)間不多于10分鐘的概率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由題意，等待時(shí)間的區(qū)間為，而等待時(shí)間不多于10分鐘的等待時(shí)間區(qū)間為，根據(jù)幾何概型求解即可.【詳解】解：由題意，觀光車的發(fā)車間隔為30分鐘，即等待時(shí)間的區(qū)間為，設(shè)等待時(shí)間為，則等待時(shí)間不多于10分鐘的等待時(shí)間區(qū)間為，由幾何概型可得，等待時(shí)間不多于10分鐘的概率為.故選：D.6.若某圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則此圓的圓心和半徑長分別為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到答案.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為則圓心為，半徑為 故選：B7.自然界中具有兩種穩(wěn)定狀態(tài)的組件普遍存在，如開關(guān)的開和關(guān)、電路的通和斷等，非常適合表示計(jì)算機(jī)中的數(shù)，所以現(xiàn)在使用的計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)為二進(jìn)制．二進(jìn)制以為基數(shù)，只用和兩個(gè)數(shù)表示數(shù)，逢進(jìn)，二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)遵循一樣的運(yùn)算規(guī)則，它們可以相互轉(zhuǎn)化，如．我國數(shù)學(xué)史上，清代汪萊的《參兩算經(jīng)》是較早系統(tǒng)論述非十進(jìn)制數(shù)的文獻(xiàn)，總結(jié)出了八進(jìn)制乘法口訣：，，，則八進(jìn)制下等于A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由二進(jìn)制的轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的方法，只要一次累加個(gè)位數(shù)字上的數(shù)該數(shù)為的權(quán)重，即可得到轉(zhuǎn)化，求得答案．【詳解】由題意知，，，根據(jù)十進(jìn)制與八進(jìn)制的轉(zhuǎn)化可得，所以，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了算法的概念及其應(yīng)用，其中解答中熟記十進(jìn)制與八進(jìn)制的轉(zhuǎn)化方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8.已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系是（）A.相交B.外切C.內(nèi)切D.相離【答案】B【解析】【分析】由題意求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,再由兩圓圓心距與半徑的關(guān)系判斷.【詳解】設(shè),由題意可知,整理得,點(diǎn)的軌跡方程為, 其圖形是以為圓心，以2為半徑的圓，而圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為1,可得兩圓的圓心距為3,等于,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系是外切.故選：B.9.已知A，B，C是表面積為的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，，則三棱錐的體積為（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)球的半徑為，外接圓的半徑為，根據(jù)題意求出，再根據(jù)球心到的距離，即三棱錐的高，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)球的半徑為，外接圓的半徑為，在中，由，，則得，所以，因?yàn)榍騉的表面積為，則，解得，所以球心到的距離，即三棱錐的高為，，所以三棱錐的體積.故選：C.10.已知直線過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于C點(diǎn)，若，則等于（） A.2B.3C.D.【答案】B【解析】【分析】過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，根據(jù)相似得到，再利用拋物線的性質(zhì)得到答案.【詳解】如圖所示：過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，則，，，故，即.故選：B11.如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)是對角線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，包括線段兩端點(diǎn)）.則下面說法中正確的有（　?。賹θ我獾狞c(diǎn)，是等腰三角形；②存在點(diǎn)，使得平面；③對任意的點(diǎn)，的面積都不大于；④對任意的點(diǎn)，的面積都不等于. A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，求得，結(jié)合，可判定①正確；由點(diǎn)為平面與直線的交點(diǎn)時(shí)，得到平面，可判定②正確；由①可知是等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，求得的面積最大值，可判定③正確；由的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合，求得面積的最小值，可判定④錯(cuò)誤.【詳解】對于①中，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，，，，，，，因?yàn)辄c(diǎn)在上，設(shè)，由，可得，得，，，所以，可得，所以，，所以，即，所以①正確.對于②：當(dāng)點(diǎn)為平面與直線的交點(diǎn)時(shí)，可得平面，所以②正確； 對于③中，由①可知是等腰三角形，所以與的面積成正比關(guān)系，在中，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，此時(shí)最大，的面積最大，最大值為的面積，所以③正確；對于④中，由的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，可得，可得，所以的最小值為，此時(shí)的面積最小，最小值為，所以④錯(cuò)誤.故選：A.12.在平面直角坐標(biāo)系中，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過作漸近線的垂線，垂足為，與雙曲線的右支交于點(diǎn)，且，，則雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】利用雙曲線的定義建立的關(guān)系即可解得答案.【詳解】設(shè)，其中，則焦點(diǎn)到漸近線的距離又因?yàn)椋?，又，?則在中，有，，.則由余弦定理得則漸近線方程.故選：C第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線，若，則與的距離為_______.【答案】【解析】【分析】由求得的值，再根據(jù)兩平行線間的距離計(jì)算即可.【詳解】解：直線，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，與重合，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；所以，與的距離為 故答案為：.14.已知函數(shù)的圖像恒過點(diǎn)，點(diǎn)在直線上．則的最小值為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)在直線上列方程求，再利用基本不等式求的最小值.【詳解】對于函數(shù)，令可得，所以函數(shù)恒過定點(diǎn)，又點(diǎn)在直線上，所以，所以，因?yàn)?，所以且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最小值為4.故答案為：.15.已知命題，命題，若的否定為真命題，為真命題，則實(shí)數(shù)的范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由命題可得，由此可得的否定為真命題時(shí)的范圍.再得為真命題時(shí)的范圍.最后可得答案.【詳解】，解得故當(dāng)?shù)姆穸檎婷}時(shí)，實(shí)數(shù)的范圍是因?yàn)檎?，則，解得. 則的范圍是,若的否定為真命題，為真命題，則實(shí)數(shù)的范圍是.故答案為：16.已知直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】將已知轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出圖形，結(jié)合圖形可得所求的范圍．【詳解】由題意，將已知轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，曲線表示圓心為原點(diǎn)，半徑為2的圓的上半部分（包括與軸的交點(diǎn)），畫出圖形如下圖所示．當(dāng)直線，即直線與圓相切時(shí)，則有，解得，．結(jié)合圖形可得當(dāng)直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，則有，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：． 【點(diǎn)睛】解決曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)、方程根的個(gè)數(shù)等關(guān)于“個(gè)數(shù)”的問題時(shí)，一般要結(jié)合圖形（或函數(shù)的圖象）求解，即利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心在直線上，且圓與直線相切于點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）求出過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程，與聯(lián)立求出圓心，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離求出半徑，即可得圓的方程；（2）分類討論，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合過原點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程.【小問1詳解】過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，聯(lián)立，解得，所以,所以圓的半徑為,所以圓的方程為.【小問2詳解】由（1）可知圓的方程為， 因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為，所以到直線的距離為，若直線的斜率不存在，則方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，不符合題意；若直線斜率存在，設(shè)方程為，則,即,解得或,所以直線的方程為或.18.已知函數(shù)．（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)不等式的解集可得對應(yīng)方程的根，從而可求實(shí)數(shù)的值；(2)根據(jù)不等式恒成立可得關(guān)于的不等式組，從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由題意可知：關(guān)于關(guān)于不等式的解集為，則且和是方程的兩個(gè)根，所以，解得：， 所以實(shí)數(shù)，.【小問2詳解】因?yàn)?，故函?shù)，由題意，對任意恒成立，即關(guān)于的不等式在上恒成立，當(dāng)，即時(shí)，可得，解得：，不滿足題意，故舍去；當(dāng)，即時(shí)，可得，解得：，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.某中藥企業(yè)計(jì)劃種植兩種藥材，通過大量考察研究得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).藥材的畝產(chǎn)量約為300公斤，其收購價(jià)格處于上漲趨勢，最近五年的價(jià)格如下表：年份20172018201920202021年份編號12345單價(jià)（元/公斤）1820232529藥材的收購價(jià)格始終為20元/公斤，其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下：（1）若藥材的單價(jià)（單位：元/公斤）與年份編號間具有線性相關(guān)關(guān)系；請求出關(guān)于的回歸直線方程，并估計(jì)2022年藥材A的單價(jià)；（2）利用上述頻率分布直方圖估計(jì)藥材B的平均畝產(chǎn)量（同一組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值為代表）； （3）若不考慮其他因素影響，為使收益最大，試判斷2022年該藥企應(yīng)當(dāng)種植藥材A還是藥材B？并說明理由.參考公式：回歸直線方程，其中.【答案】（1），元/公斤（2）401公斤（3）藥材A的每畝產(chǎn)值更高，應(yīng)該種植藥材A，理由見解析【解析】【分析】（1）首先求出，，即可求出、，從而求出回歸方程，再令，即可得解；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)公式計(jì)算可得；（3）比較、兩種藥材的均值，即可判斷；【小問1詳解】解：，.，故回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，，從而2022年藥材的單價(jià)預(yù)計(jì)為元/公斤.【小問2詳解】解：組距為20，自左向右各組的頻率依次為從而B藥材的平均畝產(chǎn)量為公斤【小問3詳解】解：預(yù)計(jì)2022年藥材每畝產(chǎn)值為元，藥材B每畝產(chǎn)值為元元，所以藥材的每畝產(chǎn)值更高，應(yīng)該種植藥材.20.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P是C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，PF與x軸垂直，． （1）求C的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與C交于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，若的面積為，求l的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線方程以及P的位置關(guān)系，由即可計(jì)算拋物線方程；（2）由題意可知直線l的斜率一定存在，設(shè)出直線方程并與拋物線聯(lián)立方程組，利用弦長公式并根據(jù)的面積為即可求得直線的斜率，得到直線方程.【小問1詳解】由題可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．因?yàn)椋?，解得p＝6或p＝－6（舍去），故C的方程為．【小問2詳解】由題可知，，所以直線l的斜率一定存在，可設(shè)l的方程為，，．聯(lián)立方程組，整理得，則，．所以的面積，解得或（舍去），故l的方程為或．21.如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E為CD中點(diǎn)，以AE 為折痕把△ADE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置（P?平面ABCE）．（1）證明：AE⊥PB；（2）若直線PB與平面ABCE所成的角為，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接BD，設(shè)AE中點(diǎn)為O，可證，故而AE⊥平面POB，于是AE⊥PB；（2）證明OP⊥OB，建立空間坐標(biāo)系，求出兩半平面的法向量，計(jì)算法向量的夾角得出二面角的大?。驹斀狻浚?）連接BD，設(shè)AE的中點(diǎn)為O，∵AB∥CE，AB＝CECD，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE，△ABE為等邊三角形，∴OD⊥AE，OB⊥AE，折疊后，又OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，又PB?平面POB，∴AE⊥PB．（2）在平面POB內(nèi)作PQ⊥平面ABCE，垂足為Q，則Q在直線OB上，∴直線PB與平面ABCE夾角為∠PBO，又OP＝OB，∴OP⊥OB，∴O、Q兩點(diǎn)重合，即PO⊥平面ABCE， 以O(shè)為原點(diǎn)，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），∴（，0，），（，，0），設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為（x，y，z），則，即，令x得（，﹣1，1），又OB⊥平面PAE，∴（0，1，0）為平面PAE的一個(gè)法向量，設(shè)二面角A﹣EP﹣C為α，則|cosα|＝|cos|，由圖可知二面角A﹣EP﹣C為鈍角，所以cosα．【點(diǎn)睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查面面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.22.已知橢圓的長軸長為是坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且的內(nèi)切圓半徑為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且直線的斜率之和為.①求直線經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)；②求的面積的最大值. 【答案】（1）；（2）①；②.【解析】【分析】（1）根據(jù)長軸長為8可求出，再根據(jù)的面積公式可求出，進(jìn)而確定橢圓的方程；（2）①設(shè)出直線方程與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，標(biāo)準(zhǔn)設(shè)而不求的步驟后，將韋達(dá)定理代入斜率和為的表達(dá)式中可得定點(diǎn)；②將①中求出的參數(shù)代入韋達(dá)定理，表示出的面積，求此表達(dá)式的最大值即可.【小問1詳解】由題意可知，又的內(nèi)切圓半徑為，所以，又，所以，解得.因?yàn)椋詸E圓的方程為.【小問2詳解】①設(shè)，聯(lián)立整理，得，所以，可得，，設(shè)直線的斜率分別為，因?yàn)橹本€的斜率之和為，所以，即 ，所以，又，所以，所以直線經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)為.②設(shè)直線經(jīng)過的定點(diǎn)為，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)取等號，此時(shí)，所以，即的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．