2024年新高考數(shù)學考前沖刺必刷卷01（乙卷理科專用解析版）.docx

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2024年高考考前信息必刷卷（乙卷理科專用）01數(shù)學試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）全國甲卷的使用將接近于尾聲，往后會是新高考的題型。全國甲卷的題型會相對穩(wěn)定，考試題型為12（單選題）＋4（填空題）＋6（解答題），2024年的對于三視圖、線性規(guī)劃及程序框圖圖的考察也將近有尾聲，題目難度變化不大，但側重于考察學生運算能力與分析能力。1.2023年的真題中就有開放性的題目，重在提升學生的創(chuàng)新能力，如本卷第15題2.加強知識間的綜合考察仍將是2024的熱點，如本卷第7題3.同時應特別注意以數(shù)學文化為背景的新情景問題，此類試題蘊含濃厚的數(shù)學文化氣息，將數(shù)學知識、方法等融為一體，注意歸納題目意思。對于數(shù)學文化的知識會結合排列組合、數(shù)列及對數(shù)（指數(shù)）函數(shù)知識進行考察，難度不大，但計算能力為考察重點。如第5題，《九章算術》與古典概型結合，第8題，數(shù)學文化與排列組合結合，第10題，《數(shù)學名人》與數(shù)列相結合，將中國的航天事業(yè)與排列組合有機結合，培養(yǎng)數(shù)學建模的核心素養(yǎng)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．已知復數(shù)z滿足，則（????）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵,可得：，所以.故選：B.2．已知，集合，則下列關系正確的是（????）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，，故A不正確；，所以B不正確；=，=或，所以，所以C不正確，D正確.故選：D.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 3．如圖是一個幾何體三視圖，正視圖是等腰直角三角形，側視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何體的表面積是（????）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三視圖可知，該幾何體為三棱柱，其表面積為.故選：B4．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（????）A．-1B．-2C．2D．1【答案】A【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，，所以，即得可得，成立，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以.故選：A.5．《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機取一點，則此點取自內(nèi)切圓的概率是（　　）A．B．C．D．【答案】C【解析】直角三角形的直角邊分別是5和12，則內(nèi)切圓半徑為，所求概率為，故選C．6．若，，則（????）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，，所以，即，解得或（舍），又因為，所以.故選：B.7．已知函數(shù)的相鄰的兩個零點之間的距離是，且直線是圖象的一條對稱軸，則（????）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為相鄰的兩個零點之間的距離是，所以，，所以，又，且，則，所以，則.故選：D.8．為了提高同學們對數(shù)學的學習興趣，某高中數(shù)學老師把《周髀算經(jīng)》、《九章算術》、《孫子算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》這4本數(shù)學著作推薦給學生進行課外閱讀，若該班A，B，C學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 三名同學有2名同學閱讀其中的2本，另外一名同學閱讀其中的1本，若4本圖書都有同學閱讀（不同的同學可以閱讀相同的圖書），則這三名同學選取圖書的不同情況有（????）A．144種B．162種C．216種D．288種【答案】A【解析】分兩種情況：第一種情況，先從4本里選其中2本，作為一組，有種，第二組從第一組所選書籍中選1本，再從另外2本中選取1本作為一組，剩余一本作為一組，再分給3名同學，共有方法；第二種情況：從4本里任選2本作為一組，剩余的兩本作為一組，有種分法，分給3名同學中的2名同學，有種分法，剩余1名同學，從這4本中任選一本閱讀，有種分法，共有種方法.故這三名同學選取圖書的不同情況有種.故選：A.9．如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個圓錐的體積為（????）A．B．C．D．【答案】A【解析】設圓錐的頂點為，以母線為軸可作出圓錐側面展開圖如下圖所示，小蟲爬行的最短路程為，，又，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，，設圓錐底面半徑為，高為，則，解得：，，圓錐體積.故選：A.10．洛卡斯是十九世紀法國數(shù)學家，他以研究斐波那契數(shù)列而著名.洛卡斯數(shù)列就是以他的名字命名，洛卡斯數(shù)列為：、、、、、、、、、、，即，，且.則洛卡斯數(shù)列的第項除以的余數(shù)是（????）A．B．C．D．【答案】D【解析】設數(shù)列各項除以所得余數(shù)所形成的數(shù)列為，則數(shù)列為：、、、、、、、、、、，由上可知，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，即對任意的，，因為，所以.故選：D.11．已知點，是雙曲線上的兩點，線段的中點是，則直線的斜率為（????）A．B．C．D．【答案】D【解析】設，，則，兩式相減得，即，∴.故選D.12．中，，O是外接圓圓心，是的最大值為（　?。〢．0B．1C．3D．5學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】C【解析】過點O作，垂足分別為D，E，如圖，因O是外接圓圓心，則D，E分別為AC，的中點，在中，，則，即，，同理，因此，，由正弦定理得：，當且僅當時取“=”，所以的最大值為3.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知拋物線，點是拋物線上一點，則拋物線上縱坐標為3的點到準線的距離為．【答案】5【解析】因為點是拋物線上一點，所以，解得，故拋物線方程為.令，得.所以拋物線上縱坐標為3的點到準線的距離為.14．已知滿足約束條件，則的取值范圍為.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，可化簡為，即斜率為的平行直線，結合圖形可知，當直線過點時，取最小值，當直線過點時，取最大值，由，解得，所以，則,由，解得，所以，則，所以可求得的取值范圍為，15．若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，寫出一個滿足題意的通項公式.【答案】（答案不唯一）【解析】由，得，即，即，所以.令，所以，所以可?。ù鸢覆晃ㄒ唬?6．已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是．【答案】【解析】對求導，得．∵在上單調(diào)遞減，∴在上恒成立，即在上恒成立．令，則．設，則，∴當時，；當時，，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ∴當時，取得最小值，∴．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．（本小題滿分12分）某蛋糕店計劃按天生產(chǎn)一種面包，每天生產(chǎn)量相同，生產(chǎn)成本每個6元，售價每個8元，未售出的面包降價處理，以每個5元的價格當天全部處理完.（1）若該蛋糕店一天生產(chǎn)30個這種面包，求當天的利潤y（單位：元）關于當天需求量n（單位：個，）的函數(shù)解析式；（2）蛋糕店記錄了30天這種面包的日需求量（單位：個），整理得表：日需求量n282930313233頻數(shù)346674假設蛋糕店在這30天內(nèi)每天生產(chǎn)30個這種面包，求這30天的日利潤（單位：元）的平均數(shù)及方差；（3）蛋糕店規(guī)定：若連續(xù)10天的日需求量都不超過10個，則立即停止這種面包的生產(chǎn)，現(xiàn)給出連續(xù)10天日需求量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)為“平均數(shù)為6，方差為2”，試根據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)決策是否一定要停止這種面包的生產(chǎn)？并給出理由.【解】（1）由題意可知，當天需求量時，當天的利潤，當天需求量時，當天的利潤.故當天的利潤y關于當天需求量n的函數(shù)解析式為:，.（2）由題意可得：日需求量n282930313233日利潤545760606060頻數(shù)346674所以這30天的日利潤的平均數(shù)為（元），方差為.（3）根據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，一定要停止這種面包的生產(chǎn).理由如下：由，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 可得，所以（，，），所以，由此可以說明連續(xù)10天的日需求量都不超過10個，即說明一定要停止這種面包的生產(chǎn).18．（本小題滿分12分）如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，過點作，交線段于點，且，，.??(1)求；(2)求的面積.【解】（1）∵，∴由正弦定理得，即，∴由余弦定理，，又∵，∴.（2）∵，∴，由第（1）問，，∴，又∵，∴，∴在中，由正弦定理，，∴，又∵，∴，∴的面積.19．（本小題滿分12分）如圖，AB是的直徑，C是圓周上異于A，B的點，P是平面ABC外一點，且學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ??(1)求證：平面平面ABC；(2)若，點D是上一點，且與C在直徑AB同側，求平面PCD與平面ABC所成的銳二面角的正切值．【解】（1）連結OC，，，又是以AB為直徑的圓周上一點，，≌，，又，OB，平面ABC，平面ABC，平面PAB，平面平面ABC；（2）取CD的中點E，連接PE，OE，則，因為平面ABC，平面，則，又，平面，所以平面，又平面，則，????∴是平面PCD與平面ABC所成的銳二面角的平面角.∵，，∴.∵∴，是邊長為1的正三角形，∴，又∵平面ABC，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ∴，∴平面PCD與平面ABC所成的銳二面角的正切值為.20．（本小題滿分12分）已知橢圓C的中心在原點，一個焦點是，一個頂點的坐標是．(1)求C的方程．(2)設動直線與橢圓C相切于點P，且與直線交于點Q，證明：以PQ為直徑的圓恒過定點M，并求出M的坐標．【解】（1）由焦點是，可知焦點在軸上，故設橢圓方程為，有題意可知，故，故C的方程為（2）聯(lián)立，故，化簡得，設，則，，故，，設，則，化簡得對任意的恒成立，故滿足，故以PQ為直徑的圓恒過定點M,且,21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：在上存在唯一的極大值點．【解】（1）解：由題得，所以切線的斜率又，所以切點坐標為，所以切線方程為所以曲線在點處的切線方程為.（2）解：由題得，.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以.所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減.（3）證明：由題得，.當時，，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當時，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.所以存在,滿足.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜合得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.所以在上存在唯一的極大值點.選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，(參數(shù))，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（2）若，當曲線與曲線有兩個公共點時，求的取值范圍.【解】（1）由，得，兩式平方相加得：；所以曲線的普通方程為由，得，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，即；所以曲線的直角坐標方程為；（2）若，則，故，此時曲線的方程為（，），其圖像為半圓弧，如下圖所示：當曲線：經(jīng)過點和時，；當曲線：與曲線相切時，有，是，由圖可知，故當曲線與曲線有兩個公共點時，的取值范圍為，綜上，的取值范圍為.23．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．已知，．(1)若，求不等式的解集；(2)，若圖象與兩坐標軸圍成的三角形面積不大于2，求正數(shù)m的取值范圍．【解】（1）當時,，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由，可得或或，解得或，所以不等式的解集為或；（2）由題可得，可得函數(shù)的大致圖象如圖所示，圖象與兩坐標軸交于點，，所以，依題意，所以，，所以．2024年高考考前信息必刷卷（乙卷理科專用）01學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 數(shù)學·答案及評分標準（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．123456789101112BDBACBDAADDC二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．514．15．（答案不唯一）16．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．（本小題滿分12分）【解】（1）由題意可知，當天需求量時，當天的利潤，當天需求量時，當天的利潤.故當天的利潤y關于當天需求量n的函數(shù)解析式為:，.（2）由題意可得：日需求量n282930313233日利潤545760606060頻數(shù)346674所以這30天的日利潤的平均數(shù)為（元），方差為.（3）根據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，一定要停止這種面包的生產(chǎn).理由如下：由，可得，所以（，，），所以，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由此可以說明連續(xù)10天的日需求量都不超過10個，即說明一定要停止這種面包的生產(chǎn).18．（本小題滿分12分）【解】（1）∵，∴由正弦定理得，即，∴由余弦定理，，又∵，∴.（2）∵，∴，由第（1）問，，∴，又∵，∴，∴在中，由正弦定理，，∴，又∵，∴，∴的面積.19．（本小題滿分12分）【解】（1）連結OC，，，又是以AB為直徑的圓周上一點，，≌，，又，OB，平面ABC，平面ABC，平面PAB，平面平面ABC；（2）取CD的中點E，連接PE，OE，則，因為平面ABC，平面，則，又，平面，所以平面，又平面，則，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ????∴是平面PCD與平面ABC所成的銳二面角的平面角.∵，，∴.∵∴，是邊長為1的正三角形，∴，又∵平面ABC，∴，∴平面PCD與平面ABC所成的銳二面角的正切值為.20．（本小題滿分12分）【解】（1）由焦點是，可知焦點在軸上，故設橢圓方程為，有題意可知，故，故C的方程為（2）聯(lián)立，故，化簡得，設，則，，故，，設，則，化簡得對任意的恒成立，故滿足，故以PQ為直徑的圓恒過定點M,且,21．（本小題滿分12分）【解】（1）解：由題得，所以切線的斜率又，所以切點坐標為，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以切線方程為所以曲線在點處的切線方程為.（2）解：由題得，.所以.所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減.（3）證明：由題得，.當時，，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當時，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.所以存在,滿足.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜合得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.所以在上存在唯一的極大值點.選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）【解】（1）由，得，兩式平方相加得：；所以曲線的普通方程為由，得，，即；所以曲線的直角坐標方程為；學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）若，則，故，此時曲線的方程為（，），其圖像為半圓弧，如下圖所示：當曲線：經(jīng)過點和時，；當曲線：與曲線相切時，有，是，由圖可知，故當曲線與曲線有兩個公共點時，的取值范圍為，綜上，的取值范圍為.23．[選修4-5：不等式選講]（10分）【解】（1）當時,，由，可得或或，解得或，所以不等式的解集為或；（2）由題可得，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 可得函數(shù)的大致圖象如圖所示，圖象與兩坐標軸交于點，，所以，依題意，所以，，所以．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司