重難點6-1 空間角與空間距離的求解（8題型+滿分技巧+限時檢測）（解析版）.docx

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重難點6-1空間角與空間距離的求解空間角與空間距離問題一直是高考數(shù)學必考點與熱點考向。通常小題及解答題的第2小問考查，難度中等。在高考復習過程中除了掌握空間向量法，還需多鍛煉幾何法的應(yīng)用?！绢}型1幾何法求異面直線夾角】滿分技巧1、求異面直線所成角一般步驟：（1）平移：選擇適當?shù)狞c，線段的中點或端點，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線．（2）證明：證明所作的角是異面直線所成的角．（3）尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．（4）取舍：因為異面直線所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為異面直線所成的角．2、可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：（1）直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；（2）中位線平移法；（3）補形平移法(在已知圖形中，補作一個相同的幾何體，以便找到平行線)．【例1】（2023·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學校考期中）在正方體中，，，，分別為，，，的中點，則異面直線與所成角的大小是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在正方體中，連接，由分別為的中點，得分別為中點，而分別為的中點，則，，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 因此或其補角是異面直線與所成的角，在中，，則，所以異面直線與所成角的大小是.故選：C【變式1-1】（2022·全國·高三專題練習）如圖，是圓錐的頂點，是底面直徑，點在底面圓上．若為正三角形，且，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，所以，設(shè)，則，可得，分別取的中點，連接，則，所以或其補角為異面直線與所成角，過點作于，連接，則為中點，與底面垂直，且，在中，，，所以，所以，所以在中，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.【變式1-2】（2024·廣東·高三校聯(lián)考開學考試）如圖，在直三棱柱中，所有棱長都相等，，，分別是棱，，的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】D【解析】連接，因為在直三棱柱中，，分別是棱，的中點，故，即四邊形為平行四邊形，所以，則即為異面直線與所成角或其補角；直三棱柱中，所有棱長都相等，設(shè)其棱長為2，連接，則，而平面，故平面，平面，故，是棱的中點，故，則,而，又，故在中，,由于異面直線所成角的范圍為大于，小于等于，故異面直線與所成角的余弦值是，故選：D【變式1-3】（2022·全國·模擬預測）已知正方形的邊長為2，把沿折起，使點A與點E重合，若三棱錐的外接球球心O到直線的距離為，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．0學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】易得三棱錐的外接球球心O為的中點，連接，則，取的中點H，連接，易知，則為點O到直線的距離，即，取的中點F，連接，得，則或其補角是異面直線與所成角．因為，所以，則異面直線與所成角的余弦值為，故選：A．【變式1-4】（2023·安徽·高三池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）在正四棱臺中，，點是底面的中心，若該四棱臺的側(cè)面積為，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意知：正四棱臺側(cè)面為等腰梯形，連接：，，，，，，作，如下圖所示，因為棱臺側(cè)面積為，即：，得：，所以：側(cè)棱長，因為：，得：，又因為：，所以：四邊形是平行四邊形，所以：，（或其補角）是異面直線與所成的角，根據(jù)余弦定理可知：，故A項正確.故選：A.【題型2向量法求異面直線夾角】滿分技巧異面直線所成角：若分別為直線的方向向量，為直線的夾角，則學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 .【例2】（2023·山東德州·高三德州市第一中學校考階段練習）如圖，在直三棱柱中，，且，，分別是棱，的中點，則異面直線與所成角的正弦值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，，，，異面直線與所成角的正弦值是.故選：A.【變式2-1】（2023·安徽·高三校聯(lián)考期末）已知是圓錐底面的直徑，為底面圓心，為半圓弧的中點，，分別為線段，的中點，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為為半圓弧的中點，則，如圖，建立空間直角坐標系，因為，，為半圓弧的中點，，分別為線段，的中點，則,，所以，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 設(shè)異面直線與所成角的角為，則，故選：B.【變式2-2】（2024·江西·高三統(tǒng)考期末）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，，分別為上、下底面圓的直徑，四面體的體積為，則直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，找底面圓心，作與底面垂直，//，，故以為原點，建立空間直角坐標系，規(guī)定，，設(shè)，，易知底面圓方程為，則，，故，，故，設(shè)到面的距離為，設(shè)面的法向量，故有，，解得，，，故，由點到平面的距離公式得，已知四面體的體積為，故得，解得(負根舍去)，易得，故，，，，設(shè)直線與所成角為，故有.故選：D【變式2-3】（2024·湖南長沙·高三長沙一中?？奸_學考試）三棱錐中，平面，，.，點是面內(nèi)的動點（不含邊界），，則異面直線與所成角的余弦值的取值范圍為（）學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】A【解析】由平面平面，得，又平面，則平面，平面，則，又，平面，因此平面，而平面，則，如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向建立空間直角坐標系，則，設(shè)，，由，得，，設(shè)異面直線與所成角為，則，令，則，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時，，所以異面直線與所成角的余弦值的取值范圍為.故選：A【變式2-4】（2023·廣東汕頭·高三潮陽實驗學校?？茧A段練習）正四棱錐的側(cè)棱長為，底面的邊長為，E是的中點，則異面直線與所成的角為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】連接，交于點O，連接，以為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，正四棱錐的側(cè)棱長為，底面的邊長為，E是的中點，，，，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，設(shè)異面直線與所成的角為，則，，異面直線與所成的角為．故選：C.【題型3幾何法求直線與平面夾角】滿分技巧1、垂線法求線面角（也稱直接法）：（1）先確定斜線與平面，找到線面的交點B為斜足；找線在面外的一點A，過點A向平面做垂線，確定垂足O；（2）連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；（3）把投影BO與斜線AB歸到一個三角形中進行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。3、公式法求線面角（也稱等體積法）：用等體積法，求出斜線PA在面外的一點P到面的距離，利用三角形的正弦公式進行求解。公式為：sinθ=?l，其中θ是斜線與平面所成的角，?是垂線段的長，l是斜線段的長。方法：已知平面內(nèi)一個多邊形的面積為S，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為S射影，平面和平面所成的二面角的大小為，則COSθ=S射影S.這個方法對于無棱二面角的求解很簡便?！纠?】（2022·全國·高三專題練習）在正方體中，棱的中點分別為，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】連接，在正方體中，平面，棱的中點為，則平面，而平面，故，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則即為直線與平面所成角，設(shè)正方體棱長為2，則，則，故，故選：C【變式3-1】（2024·山西運城·高三統(tǒng)考期末）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，，則直線與平面夾角的正弦值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖，由題意可知，，中，根據(jù)余弦定理可知，則，過點作平面，，連結(jié)，，連結(jié)，因為平面，平面，所以，且平面所以平面，平面，所以，又因為，所以，同理，中，，則，根據(jù)等面積公式，，所以，，又，所以，則，直線與平面夾角的夾角為，.故選：B學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式3-2】（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學校校聯(lián)考期末）過正四棱錐的高的中點作平行于底面的截面，若四棱錐與四棱臺的表面積之比為，則直線與底面所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依題意過正四棱錐的高的中點作平行于底面的截面，則，，，分別為，，，的中點，設(shè)正方形的邊長為，，所以正方形的面積為，正方形的面積為，正四棱錐的側(cè)面積為，四棱臺的側(cè)面積為，所以正四棱錐的表面積為，四棱臺的表面積為，所以，解得，由平面，所以為直線與底面所成角，所以，又，，所以.故選：.【變式3-3】（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，在三棱臺中，平面，，，.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）求證：平面平面；（2）求與平面所成角正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由，得，由平面，平面，則，又平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．（2）將棱臺補全為如下棱錐，由，，，易知，，由平面，平面，則，，，所以，，可得，設(shè)到平面的距離為h，又，則，可得，設(shè)與平面所成角為，，則.【變式3-4】（2023·河北滄州·高三泊頭市第一中學校聯(lián)考階段練習）如圖，在四棱錐中，，，，，，，．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）求證：平面平面；（2）若為上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1），，，，，平面，平面，平面，平面平面；（2）取的中點．連接、，由（1）知平面，平面，，如圖，過點作，，，，，，，，，，由勾股定理可知，，平面，平面，，為的中點，，又，，平面，為直線與平面所成角，由（1）知，又，，，，，則，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，，，直線與平面所成角的正弦值為．【題型4向量法求直線與平面夾角】滿分技巧直線與平面所成角：設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，直線與平面的夾角為.則.【例4】（2023·福建福州·高三校聯(lián)考期中）正四棱柱中，，四面體體積為，則與平面所成角的正弦值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，因為四面體體積為，所以，解得，建立如圖所示空間直角坐標系：則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)與平面所成的角為，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，故選：C【變式4-1】（2023·上海嘉定·高三校考期中）在正方體中，是中點，點在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)正方體邊長為2，以D為原點建立空間直角坐標系如圖所示，則，設(shè)，則,設(shè)平面的法向量為，則取，則，所以為平面的一個法向量，所以由于，所以，所以，因為所以.故選：B【變式4-2】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，平面，，，．（1）求證：平面；（2）若，二面角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）如圖，取中點，連接，因為，，所以，且，又平面，平面，所以，又面，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，得到，又平面，平面，所以平面.（2）如圖，取中點，連接，，則，因為平面，由（1）知，所以平面，又，所以，過作，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為平面，面，所以，又，，所以面，又面，所以,故為二面角的平面角，所以，又，所以，又，所以，所以，則，設(shè)平面的一個法向量為，則由得到，，取，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【變式4-3】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）如圖，在正方體中，點是線段上的動點（含端點），點是線段的中點，設(shè)與平面所成角為，則的最小值是（）學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設(shè)，不妨設(shè)，則，故，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，則，所以，當時，，當時，，當，即時，，綜上所述，的最小值是.故選：A.【變式4-4】（2024·江蘇南通·高三海安高級中學?？奸_學考試）如圖，己知三棱臺的高為1，，為的中點，，，平面平面．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大小．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由，，，故與全等，故，又為的中點，故，又平面平面，平面平面，且平面，故平面；（2）連接，由平面，平面，故，又，為的中點，故，即、、兩兩垂直，且，故可以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，有、、、，由三棱臺的高為1，故，故，、，則，，，令平面的法向量為，則有，即，令，則有、，故，則有，故與平面所成角的正弦值為，即與平面所成角為.【題型5幾何法求平面與平面夾角】學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 滿分技巧1、定義法（棱上一點雙垂線法）：提供了添輔助線的一種規(guī)律（1）方法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別過該點作垂直于棱的射線．（2）具體演示：如圖所示，以二面角的棱a上的任意一點O為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于a的兩條射線OA，OB，則∠AOB為此二面角的平面角2、三垂線法（面上一點雙垂線法）----最常用（1）方法：自二面角的一個面上一點向另外一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即斜足），斜足和面上一點的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角（2）具體演示：在平面α內(nèi)選一點A向另一個平面β作垂線AB，垂足為B，再過點B向棱a作垂線BO，垂足為O，連接AO，則∠AOB就是二面角的平面角。3、垂面法（空間一點垂面法）（1）方法：過空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。（2）具體演示：過二面角內(nèi)一點A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，面ABC交棱a于點O，則∠BOC就是二面角的平面角。4、射影面積法求二面角【例5】（2024·全國·模擬預測）已知三棱錐的外接球半徑為，，，，則平面與平面的夾角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】D學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】不妨設(shè)二面角為銳角，設(shè)的中點為，因為，所以為的外接圓圓心；設(shè)的外接圓圓心為，三棱錐的外接球球心為，如圖，連接，，，，則平面，平面，，在中，，，所以由正弦定理知，所以；在中，由，得；在中，由，，得；在中，，，則；所以在中，，從而；在平面內(nèi)過點作交于，則為二面角的平面角，易知，所以.故選：D.【變式5-1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，三棱錐中，且為正三角形，分別是的中點，若截面?zhèn)让?，則此棱錐側(cè)面與底面夾角的余弦值為.【答案】【解析】取和的中點分別為，，，分別是，的中點，,,由于且為正三角形，，故,由于，分別是，的中點，因此，故,由于截面?zhèn)让?，所?進而可得,由于學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 故為側(cè)面與底面的二面角的平面角，設(shè)，，，在直角中，.【變式5-2】（2024·北京海淀·高三統(tǒng)考期末）在正四棱錐中，，二面角的大小為，則該四棱錐的體積為（）A．4B．2C．D．【答案】C【解析】連接，相交于點，則為正方形的中心，故⊥底面，取的中點，連接，則，，故為二面角的平面角，所以，故，所以該四棱錐的體積為.故選：C【變式5-3】（2024·河北滄州·高三泊頭市第一中學校聯(lián)考期末）將兩個相同的正棱錐的底面重疊組成的幾何體稱為“正雙棱錐”.如圖，在正雙三棱錐中，兩兩互相垂直，則二面角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】取中點，連接，交平面于點，由正棱錐性質(zhì)及對稱性易知為的中心，且，故為二面角的平面角，設(shè)正三棱錐側(cè)棱長為2，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 易得，則，在中由余弦定理得.故選：D.【變式5-4】（2023·河北邢臺·寧晉中學?？寄M預測）如圖，在三棱柱中，點在平面內(nèi)的射影D在線段AC上，，，.（1）證明：；（2）設(shè)直線到平面的距離為，求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接，由題設(shè)，易知為菱形，故，由點在平面內(nèi)的射影D在AC上，則面，面，則，而，則，又，面，故面，面，則，而，面，則面，由面，則.（2）由（1）知面，面，則，所以是二面角的平面角，由，面，面，則面，直線到平面的距離為，即到平面的距離為，又面，面，則面面，面，面面，即到的距離為，由題設(shè)，易知，點在平面內(nèi)的射影D在線段AC上，則為銳角，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，故為等邊三角形，即，所以二面角的大小.【題型6向量法求平面與平面夾角】滿分技巧平面與平面的夾角：若分別為平面的法向量，為平面的夾角，則.【例6】（2024·浙江寧波·高三余姚中學校聯(lián)考期末）如圖，在三棱錐中，，，平面，平面平面，是的中點.（1）求證：;（2）求平面與平面的夾角.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）作，垂足為，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又平面，平面，所以，因為，面，所以平面，由平面，所以.（2）（向量法）如圖，以為原點，及垂直面向上為軸正方向，建立空間直角坐標系.所以，所以，，易知平面的一個法向量，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 設(shè)平面的法向量為，則,令，所以，則，所以平面與平面的夾角為.（幾何法）取中點，中點，連結(jié)，，，因為平面，平面，所以，又，所以，由（1）知，平面，平面，所以，在直角和直角中，，所以是等腰三角形，所以，綜上，即為二面角的平面角，，，，則，所以為等腰直角三角形，故，所以平面與平面的夾角為.【變式6-1】（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱錐中，平面，是線段的中點，是線段上一點，，.（1）證明：平面平面；學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）是否存在點，使平面與平面的夾角為？若存在，求；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，．【解析】（1）因為，是的中點，所以，在直角中，，，所以，在中，，，所以，得，又平面，平面，所以，又，，所以平面，由平面得，又，所以平面，由平面得，平面平面．（2）存在點滿足條件，以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示，設(shè)，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令得，所以平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量為，由已知得，解得，即，所以存在點使平面與平面的夾角為，此時．【變式6-2】（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習）如圖所示，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD為矩形，，，，點M在棱PC上且．（1）證明：M為PC的中點；學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）求平面PBD與平面MDB的夾角．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）因為平面平面，且平面平面，根據(jù)條件可知，平面，則平面，且平面，所以，所以，同理可得，又因為，所以是等邊三角形，且，所以M是的中點．（2）以D為坐標原點，以所在直線為軸，過D垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則．設(shè)為平面的法向量．因為，可得，令，則，可得，設(shè)平面的法向量為，因為，可得，令，則，可得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面PBD與平面MDB的夾角.【變式6-3】（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習）如圖，在三棱柱中，，，為的中點，平面平面．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）證明：平面；（2）若，二面角的余弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）如圖，連接與相交于點，連接，三棱柱中，側(cè)面是平行四邊形，則為的中點，又為的中點，有，平面，平面，所以平面；（2）平面平面，平面平面，底面為正三角形，為的中點，則，平面，則平面，，平面，，，則二面角的平面角為，有余弦值為，中，由余弦定理，即，解得，過作直線的垂線，垂足為，則，故在的延長線上，，，，，四邊形為矩形，則，以為原點，，，分別為軸，軸，軸，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，令，則，，即，，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，令，則，，即，平面與平面夾角的余弦值為．【變式6-4】（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知是圓錐的底面直徑，C是底面圓周上的一點，，平面和平面將圓錐截去部分后的幾何體如圖所示．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）為底面圓周上一點，，又，又為中點，，又底面，底面，，又底面，平面．（2）底面，底面，所以，又因為，所以以為原點，所在直線分別為軸，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，，，設(shè)平面的一個法向量，由，，取，所以，而平面的一個法向量，設(shè)二面角平面角為，顯然為銳角，．【題型7幾何法解決空間距離問題】滿分技巧點面距的求解方法1、定義法（直接法）：找到或者作出過這一點且與平面垂直的直線，求出垂線段的長度；2、等體積法：通過點面所在的三棱錐，利用體積相等求出對應(yīng)的點線距離；3、轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點到該平面的距離，常見轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線上的點到面的距離．【例7】（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）已知正方形的邊長為1，將正方形繞著邊旋轉(zhuǎn)至分別為線段上的動點，且，若，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于平面，所以平面，平面，由于，則，在中，利用余弦定理可得,所以，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 過作的垂線，垂足為，由，平面，所以平面，又平面，所以，所以，不妨設(shè)，則，所以由余弦定理得，，故選：A．【變式7-1】（2024·河北邯鄲·高三磁縣第一中學?？茧A段練習）如圖，已知圓柱的底面半徑和母線長均為1，分別為上、下底面圓周上的點，若異面直線所成的角為，則（）A．1B．C．1或2D．2或【答案】D【解析】如圖，過點作平面于點，則是母線，連接底面，，則四邊形是平行四邊形，，與所成的角就是或其補角．當時，是等邊三角形，，在中，；當時，在中，，在中，．綜上，或.故選：D．【變式7-2】（2024·重慶·高三西南大學附中校聯(lián)考開學考試）如圖，在正四棱柱中，為的中點，則中點到平面的距離為．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】【解析】設(shè)中點為O，O到平面距離為到平面距離的一半，連接，設(shè)到平面的距離為，由，即，，∴O到平面CDE的距離為.【變式7-3】（2024·陜西·高三校聯(lián)考開學考試）如圖，在三棱臺中，，，．（1）證明：；（2）求點到平面的距離．【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】（1），，．同理,平面,平面,平面,（2）平面,平面,學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 作平面,到平面的距離中,.【變式7-4】（2023·廣東·統(tǒng)考二模）半正多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖所示的多面體就是一個半正多面體，其中四邊形和四邊形均為正方形，其余八個面為等邊三角形，已知該多面體的所有棱長均為2，則平面與平面之間的距離為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分別取的中點，連接，根據(jù)半正多面體的性質(zhì)可知，四邊形為等腰梯形；根據(jù)題意可知，而平面，故平面，又平面，故平面平面，則平面平面，作，垂足為S，平面平面，平面，故平面，則梯形的高即為平面與平面之間的距離；，故，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 即平面與平面之間的距離為，故選：B【題型8向量法解決空間距離問題】滿分技巧點到平面的距離：已知平面的法向量為,是平面內(nèi)的任一點，是平面外一點,過點作則平面的垂線，交平面于點,則點到平面的距離為（如圖）.注意：線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進行求解。直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量?！纠?】（2024·廣西·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體中，為線段的中點，為線段的中點.直線到平面的距離為（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，平面，平面，∴平面，因此直線到平面的距離等于點到平面的距離，如圖，以點為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標系.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)點到平面的距離為，則，故直線到平面的距離為.故選：C.【變式8-1】（2024·北京昌平·高三統(tǒng)考期末）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點，且，點在線段上，則點到直線距離的最小值為（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】由題意以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：z因為正方體棱長為1，，所以，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 不妨設(shè)，所以，而，所以點到直線的投影數(shù)量的絕對值為，所以點到直線距離，等號成立當且僅當，即點到直線距離的最小值為.故選：C.【變式8-2】（2023·河北邢臺·高三寧晉中學校聯(lián)考開學考試）已知四棱臺中，底面為正方形，，，，⊥底面．（1）證明：．（2）求到平面的距離．【答案】（1）證明見解析;（2）【解析】（1）因為底面，底面，所以，因為底面為正方形，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以.（2）如圖建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則點到平面的距離.【變式8-3】（2024·重慶·高三重慶南開中學校考階段練習）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點在底面圓上，，點是線段的中點（1）證明：平面；（2）若直線與圓柱底面所成角為，求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：取中點，連接，如圖所示，為中點，則，又，得，由，，得，所以四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.（2），易知，又，得.由平面，且直線與圓柱底面所成角為，即，則有.如圖，以為原點，分別為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標系，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則有，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，有，得，，設(shè)點到平面的距離為，.【變式8-4】（2024·河南周口·高三項城市第一高級中學校聯(lián)考期末）如圖，將圓沿直徑折成直二面角，已知三棱錐的頂點在半圓周上，在另外的半圓周上，.（1）若，求證：；（2）若，，直線與平面所成的角為，求點到直線的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由題意知平面平面，平面平面，，且平面，故平面，又平面，故；又，且平面，故平面，而平面，故；（2）以O(shè)為坐標原點，所在直線為軸，過點O作平面的垂線作為z軸，建立空間直角坐標系，如圖：學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由于，，則，設(shè),則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則可得，由于直線與平面所成的角為，故，解得，結(jié)合，則，故，由，則，故點到直線的距離為.（建議用時：60分鐘）1．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知四棱錐底面是矩形，其中，，側(cè)棱底面，E為的中點，四棱錐的外接球表面積為，則直線與所成角的正弦值為（）學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè).可將該四棱錐補成如圖所示的長方體：則該長方體的外接球即為四棱錐的外接球，其直徑為，故表面積為，得，因為，故或其補角為異面直線與所成的角，因為平面，平面，得平面平面，由，得平面，且平面，故，故為銳角，又E為的中點，故在中，，在中，，故.故選：D.2．（2023·上海虹口·高三?？计谥校┤鐖D所示，在正方體中，E為線段上的動點，則下列直線中與直線CE夾角為定值的直線為（）A．直線B．直線C．直線D．直線【答案】C【解析】設(shè)正方體的棱長為1，如圖，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，，，，，設(shè)，，則，，，，，，不是定值，故A錯；，不是定值，故B錯；，所以直線與直線所成角為，故C正確；，不是定值，故D錯.故選：C.3．（2024·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在正三棱柱中，，是的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】取是的中點，連接，如下圖所示：設(shè)三棱柱底面邊長為，可得，由正三棱柱性質(zhì)可知平面，所以即為直線與平面所成角的平面角，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 易知，由勾股定理可得，所以；即直線與平面所成角的正弦值為.故選：B4．（2023·山東青島·高三統(tǒng)考期中）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，在塹堵中，若，若為線段中點，則點到直線的距離為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)塹堵的定義，建立以點為原點的空間直角坐標系，則，，，，，故，，所以，所以，設(shè)點到直線的距離為，所以，解得.故選：B.5．（2023·山東濟寧·高三濟寧一中?？茧A段練習）如圖1，某廣場上放置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的正三棱錐得到的，它的所有棱長均相同，數(shù)學上我們稱之為半正多面體（semiregularsolid），亦稱為阿基米德多面體，如圖2，設(shè)，則平面與平面之間的距離是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，不妨記正方體為，，，故四邊形是平行四邊形，所以，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又，分別為，的中點，所以，同理，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，設(shè)對角線分別交平面和平面于點，，因為平面，平面，所以，連接，因為分別為的中點，故，又，平面，，所以平面，又平面，所以，同理，又，，平面，所以平面，又平面平面，所以平面，即為平面與平面的距離，則，由正方體棱長為得，由題意得，為等邊三角形，故，根據(jù)，得，解得，根據(jù)對稱性知，所以，則平面與平面的距離為．故選：D6．（2024·山東德州·高三統(tǒng)考期末）（多選）在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A．點到的距離為B．面與面的距離為C．直線與平面所成的角為D．點到平面的距離為【答案】AB【解析】以為原點，所在的直線分別為正方向建立空間直角坐標系，對于A，，，所以點到的距離學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，故A正確；對于B，，，，設(shè)分別為平面、平面的一個法向量，所以，令，可得，所以，，令，可得，所以，所以，所以平面平面，可得點到平面的距離即為所求，，所以點到平面的距離為，故B正確；對于C，，，設(shè)為平面的一個法向量，所以，令，可得，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，因為，所以，故C錯誤；對于D，因為平面的一個法向量為，，所以點到平面的距離為，故D錯誤.故選：AB.7．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習）（多選）如圖，已知正方體的棱長為2，點P是線段的中點，點Q是線段上的動點（不含端點），則下列結(jié)論正確的是（）學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．平面B．Q到平面的距離為C．與所成角的取值范圍為D．三棱錐外接球體積的最小值為【答案】ACD【解析】A：由題意可知，且面，面，所以面面，又因為面，所以平面，故A正確；B：因為平面，所以Q到平面的距離等于到平面的距離，以所在直線分別為軸，以為原點建立空間直角坐標系，如圖則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，所以到平面的距離，故B錯誤；C：因為，所以與所成的角就是與所成的角，因為點Q是線段上的動點（不含端點），所以與所成角的最大值為，又因為，，所以，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以在中，，即為與所成角的最小值，但不能取得，所以與所成角的取值范圍為，故C正確；D：因為，又是直角三角形，，取的中點，則，因為棱錐外接球體積最小，所以在處，所以，所以為外接球的球心，所以，所以，故D正確；故選：ACD8．（2023·廣西·模擬預測）如圖，已知在矩形和矩形中，，，且二面角為，則異面直線與所成角的正弦值為．【答案】【解析】連接，，，取中點，連接，，∵四邊形，為矩形，∴，，平面平面，平面，平面，∴即為二面角的平面角，∴，又，，∴，∴為等邊三角形，∴；∵，分別為，中點，∴，，∴（或其補角）即為異面直線與所成角，∵，∴，∴，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以異面直線與所成角的正弦值為．9．（2024·廣東深圳·高三深圳市高級中學校考期末）如圖，在圓臺中，，點C是底面圓周上異于A、B的一點，,點D是的中點，為平面與平面的交線，則交線與平面所成角的大小為．【答案】【解析】因為，D分別是，BC的中點，所以，所以平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以，，所以，所以直線l與平面所成角即直線與平面所成角，因為為直徑，所以，因為，即，又因為平面，平面，所以，平面，所以平面，過點作交于點，因為平面，所以，，，平面，所以平面，所以為交線l與平面所成角，因為，，.所以，結(jié)合圖知.10．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，為的中點．（1）求異面直線與所成的角；學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）求二面角的余弦值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）是異面直線與所成的角或其補角，，∴異面直線與所成的角為．（2）∵平面平面，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面平面，又是二面角的平面角．平面平面，．，即二面角的余弦值為．11．（2024·重慶九龍坡·高三重慶實驗外國語學校?？奸_學考試）如圖．在四棱錐中，已知底面為矩形，側(cè)面是正三角形，面底面，是棱的中點．（1）證明：；（2）若，且二面角的大小為，求異面直線與所成角的正切值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，又因為底面為矩形，所以，又平面，所以平面．又平面，所以．又側(cè)面是正三角形，是的中點，所以．又，，平面，所以平面．又因為平面，所以．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）如圖，過點作，垂足為，易得為的四等分點，．由于側(cè)面底面，交線為，所以底面，過作，垂足為，連接，則即為二面角的平面角，其大小為．在中，，所以，所以．因為，，所以四邊形為平行四邊形，從而．由（1）知平面，所以為直角三角形，所以異面直線與所成角即為．12．（2024·山西臨汾·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱中，，，，二面角的大小為.（1）求四邊形的面積；（2）在棱上是否存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）在三棱柱中，取的中點，連接，在中，由，，得，，在中，由，，得，，則為二面角的平面角，即，在中，由余弦定理得，解得，又，平面，則平面，而平面，于是，顯然，則，所以平行四邊形的面積.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）由（1）知，有，則，同理，又，，即，則，以為原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，，，，，，，假設(shè)存在點滿足題意，不妨設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，解得，此時，所以存在點滿足題意，且的長為.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司