對(duì)稱性在定積分及二重積分計(jì)算中的應(yīng)用

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1、萬(wàn)方數(shù)據(jù)第10卷第1期2010年1月1671—1815(2010)1-0172—04科學(xué)技術(shù)與工程ScienceTechnologyandEngineeringV01．10No．1Jan．2010⑥2010Sci．Tech．Engng．對(duì)稱性在定積分及二重積分計(jì)算中的應(yīng)用薛春榮王芳(渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，渭南714000)摘要運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的積分總結(jié)了對(duì)稱性在積分運(yùn)算中的應(yīng)用，給出了對(duì)稱性在定積分、二重積分運(yùn)算中的有關(guān)定理以及應(yīng)用；充分體現(xiàn)了對(duì)稱性在積分運(yùn)算中帶來(lái)的方便，達(dá)到了簡(jiǎn)化積分運(yùn)算的目的。這一點(diǎn)對(duì)于數(shù)學(xué)理論的研究

2、及積分運(yùn)算的解答都有重要意義。關(guān)鍵詞對(duì)稱性定積分二重積分中圖法分類號(hào)0172．2；文獻(xiàn)標(biāo)志碼A積分在數(shù)學(xué)分析中有很重要的地位；積分的計(jì)算方法有許多種，相關(guān)文獻(xiàn)都對(duì)其有探討，但是對(duì)對(duì)稱性的研究卻很少涉及。對(duì)稱性在積分運(yùn)算中有著很重要的意義，通?？梢院?jiǎn)化計(jì)算。本文研究了對(duì)稱性在積分運(yùn)算中的應(yīng)用，歸納總結(jié)出利用平面區(qū)域的對(duì)稱性來(lái)計(jì)算積分。1相關(guān)定理及證明定理1u。設(shè)八戈)在區(qū)間[一倪，倪]上可積：(1)若八戈)為奇函數(shù)，則f八戈)dx=0；一oo—o(2)若八戈)為偶函數(shù)，則肪州戈=2肛州戈。證明(1)當(dāng)八戈)為奇函數(shù)時(shí)：令

3、一戈=t則肪州戈=肛叫卅牡肛㈡虻一肪州戈，．o所以：2J八戈)dx=0即J八戈)dx=0。o—o．，一o2009年9月24日收到渭南師范學(xué)院研究生專項(xiàng)基金(07YKZ006)資助第一作者簡(jiǎn)介：薛春榮(1978一)，女，陜西韓城人，講師，研究方向：偏微分方程及其應(yīng)用。肪圳戈=廠∥圳戈+取圳戈=舢，．of八一右)d(一右)+f八戈)dx=．，o．，O肛州右+肛州戈。，．o所以：．J一疆戈)出=2．J∥戈)毗。o—ooU陸『1『2]、l在簞王n八r2耵d15I例1心1：計(jì)算積分j。志。．，n厶十CUSr7解：令0=耵一戈則f

4、耵乏_；‰=一廠二耵乏—；_苫一=一f暑三。其中八戈)=_二L_一為偶函數(shù)，則么一COS戈f仃乏—；‰=一廠二盯乏—；_苫一=一廠二耵點(diǎn)=廠二耵點(diǎn)=2f者毓。令tan詈=右，則萬(wàn)方數(shù)據(jù)1期薛春榮，等：對(duì)稱性在定積分及二重積分計(jì)算中的應(yīng)用1732f忐=2f∞_1+1t一_2I蠆d右=1+tz4f∞11+jt2虻4C∞而dt=厶一————i1+tz4萬(wàn)1arctan萬(wàn)出∞=等。定理‘3，412若D關(guān)于戈軸對(duì)稱，D，為位于戈軸上半部分，當(dāng)函數(shù)八戈，Y)是關(guān)于Y的奇函數(shù)，即八戈，一Y)=一八戈，Y)時(shí)，職塒)毗dy=0；當(dāng)函數(shù)

5、八戈，Y)是關(guān)于Y的偶函數(shù)，即八戈，一Y)=八戈，Y)時(shí)，職塒)以dy=2職塒)捌y。證明設(shè)八戈，Y)在D，為戈型區(qū)域，其中9，(名)，92(戈)在區(qū)間[a，6]上連續(xù)，不妨設(shè)9，(戈)≤92(戈)，則職塒)令Y=一職塒)捌yd戈dy=t，當(dāng)八=廠三d戈，．bfdxJ．，口，．bfd戈J—o，．bfd戈J—ofldx～-902。(戈x，)f(戈，y)妙+fldx戊如圳y戈，Y)是關(guān)于Y的奇函數(shù)時(shí)，f八戈，一t)d(一t)+J八戈，Y)dy=J八戈，t)dt+f八戈，Y)dy=一職塒)捌y+職戈，y)d．dy=0。q當(dāng)八

6、戈，Y)是關(guān)于Y的偶函數(shù)時(shí)，職塒)捌y=fldx場(chǎng)gOl。(戈x，)八戈，一右)d(一右)+fldxe卜圳y=一fldxe!；二；八戈，右)d右+fldxe磚圳y=職塒)捌y+職塒)毗dy=2職塒)捌y。定理3‘41若D關(guān)于Y軸對(duì)稱，D2為位于Y軸右半部分。當(dāng)函數(shù)八戈，Y)是關(guān)于戈的奇函數(shù)，即八一x,y)=一八戈，Y)時(shí)：職塒)毗dy=0；當(dāng)函數(shù)八戈，Y)是關(guān)于戈的偶函數(shù)，即八一x,y)=八戈，Y)時(shí)：職塒)以dy=2職塒)捌y。同理按照上述方法令戈=一t可以證明。例2‘2

7、：求圓錐名2=倪2(戈2+y2)截圓柱面戈2

8、+Y2=2y所得有界部分立體的體積。解立體在xy平面上的投影D：戈2+Y2≤2y，根據(jù)積分區(qū)域是關(guān)于Y軸對(duì)稱并且被積函數(shù)八戈)=倪√■了是戈的偶函數(shù)，那么所得立體體積吲。y=2盯倪v‘研d戈。令戈=rcos15I，Y=rsin0。貝ⅡD變?yōu)?(r，0)10≤秒≤訂，0≤r≤2sin臼)。y=2巧倪V研d戈=2fd臼f8inp倪rrdr=學(xué)esin3咖=6可4倪。定理4‘61若區(qū)域D為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中D3為D中關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的右側(cè)。當(dāng)八戈，Y)為奇函數(shù)即八一戈，一Y)=一八戈，Y)時(shí)，有職塒)毗dy=0。萬(wàn)方數(shù)據(jù)174科

9、學(xué)技術(shù)與工程10卷當(dāng)八戈，Y)為偶函數(shù)即八一戈，一Y)=八戈，Y)時(shí)，有職塒)以dy=2職塒)dXdy。D孕證明‘3設(shè)D可分為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域D3和D4，且任意的尸(戈，Y)∈D3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱尸，(戈，，y，)∈D4，貝!Jf戈1=一戈；tYl=一Y。由Jaeobi行列式，=耕=a戈1a戈Oyla戈a戈1OyaylOy=li