對(duì)稱性在定積分中的應(yīng)用

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1、第17卷第5期四川文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué))2007年9月Vol.17No.5SichuanUniversityofArtsandScienceJournal(NaturalScienceEdition)Sep.20073對(duì)稱性在定積分中的應(yīng)用蘇海軍(四川文理學(xué)院數(shù)學(xué)系,四川達(dá)州635000)【摘要】歸納總結(jié)了對(duì)稱性在計(jì)算定積分中的妙用,使一些較復(fù)雜的計(jì)算變得簡(jiǎn)單,并對(duì)對(duì)稱性不明確的怎樣通過構(gòu)造對(duì)稱性化簡(jiǎn)積分問題作了研究?！娟P(guān)鍵詞】對(duì)稱性;定積分[中圖分類號(hào)]O172[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]1008-4886(20

2、07)05-0010-03bbb對(duì)稱性是指某一事物對(duì)象的兩個(gè)部分的對(duì)等性。其∫af(x)dx=∫af(a+b-t)(-dt)=∫af(a+b-x)dx定義用集合語(yǔ)言刻畫如下:設(shè)給定一個(gè)集合M,在其內(nèi)考(2)式可由(1)式直接推得。證畢。慮元素間的某些關(guān)系,并設(shè)P是M的一個(gè)子集,對(duì)于M的定理2設(shè)函數(shù)f在區(qū)間[0,a]上可積,且有f(x)=一個(gè)可容許變換A,稱集合P是對(duì)稱的或不變的,若變換f(a-x),即關(guān)于區(qū)間的中點(diǎn)為偶函數(shù),則有aA把集合P中的每一點(diǎn)仍變?yōu)镻的點(diǎn)。有關(guān)數(shù)與形的對(duì)∫af(x)dx20=2∫0f(x)dx

3、(3)a稱在積分學(xué)中極為常見,許多問題初看起來(lái)似乎難以解a2a證明∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫af(x)dx(4)002決,不易下手,但一旦恰當(dāng)?shù)乩昧四撤N對(duì)稱性,這個(gè)復(fù)雜對(duì)于右式中的第二項(xiàng),令t=a-x,則dx=-dt,且當(dāng)?shù)挠?jì)算問題就變得異常簡(jiǎn)單。aa[1]x=a時(shí),t=0;當(dāng)x=時(shí),t=,于是有命題設(shè)f(x)在[-a,a]上可積,若f(x)為偶函22aaaa數(shù),則∫f(x)dx=2∫f(x)dx;若f(x)為奇函數(shù),則a022-a0∫af(x)dx=∫af(a-t)(-dt)=∫f(a-t)dt=∫f(t

4、)dt=2200aa∫-af(x)dx=0?！?f(x)dx0a0a證明∵∫-af(x)dx=∫-af(x)dx+∫0f(x)dx代入(4)式即得(3)式。證畢。0對(duì)積分∫-af(x)dx作代換x=-t,則有[3]定理3設(shè)函數(shù)f在區(qū)間[0,a]上可積,且有f(x)00a∫-af(x)dx=-∫af(-t)dt=∫0f(-t)dt=-f(a-x)a=∫0f(-x)dx即關(guān)于區(qū)間的中點(diǎn)為奇函數(shù),則有∫af(x)dx=00aaa∴∫-af(x)dx=∫0f(-x)dx+∫0f(x)dx與定理2的證明同理,可證得定理3。但考

5、慮到對(duì)稱a=∫0[f(x)+f(-x)]dx性,利用定理1來(lái)證明定理3更為直觀、方便。若f(x)為偶函數(shù),則f(x)+f(-x)=2f(x),從而證明由(2)式得aa∫-af(x)dx=2∫0f(x)dx;∫af(x)dx=∫af(a-x)dx=∫a[-f(x)]dx=-∫af(x)dx0000若f(x)為奇函數(shù),則f(x)+f(-x)=0,從而a于是有∫0f(x)dx=0。證畢。a∫-af(x)dx=0。證畢。推論1設(shè)函數(shù)f在區(qū)間[0,1]上連續(xù),則有如果將上述命題作進(jìn)一步推廣,將得到如下幾個(gè)更一πππ般性的結(jié)果,

6、將這些結(jié)果應(yīng)用于某些定積分的計(jì)算將十分(i)∫0xf(sinx)dx=2∫0(sinx)dxππ方便。(ii)∫2f(20sinx)dx=∫0f(cosx)dx[2]定理1設(shè)函數(shù)f在[a,b]上可積,則有πππbb證明∫0xf(sinx)dx-∫0f(sinx)dx∫af(x)dx=∫af(a+b-x)dx(1)2特別地,當(dāng)積分區(qū)間為[0,a]時(shí),有ππaa=∫0(x-)f(sinx)dx∫0f(x)dx=∫0f(a-x)dx(2)2證明設(shè)x=a+b-t,則dx=-dt,且當(dāng)x=a時(shí),容易驗(yàn)證,上式右邊積分中的被積函

7、數(shù)關(guān)于區(qū)間中點(diǎn)t=b;當(dāng)x=b時(shí),t=a于是有為奇函數(shù),由定理3可知積分為0,于是(i)得證。同理可3[收稿日期]2007—04—24[作者簡(jiǎn)介]蘇海軍(1981—),男,四川廣安人,助教,主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究。10蘇海軍:對(duì)稱性在定積分中的應(yīng)用2007年第5期ππππ得(ii)。證畢。444=∫0ln2dt+∫0lncos(-t)dt-∫0lncostdt(5)由以上的幾個(gè)定理我們可以將對(duì)稱性在定積分中的4[4]π應(yīng)用簡(jiǎn)單的記為:對(duì)最末第二個(gè)式子作變換u=-t,有a4a2∫0f(x)dxf(x)為偶函數(shù)∫f(x)d

8、x=πππ-a404∫lncos(-t)dt=∫πl(wèi)ncosu(-dt)=∫lncosudu0f(x)為奇函數(shù)0440π例1設(shè)函數(shù)f在區(qū)間[0,a](a>0)上連續(xù),且f(x)4=∫0lncostdt(6)+f(a-x)≠0,計(jì)算所以將(6)代入(5)有af(x)ππI=∫dx40f(x)+f(a-x)I=∫0ln2dt=ln28解法1令g(x