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《推廣的李群約化法求解變系數(shù)kdv方程(校報(bào))》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、推廣的李群約化法求解變系數(shù)KdV方程任吉任吉，1982年出生，男，漢族，浙江紹興人，碩士研究生，主要研究非線性物理，寧波大學(xué)理學(xué)院物理系，郵政編碼315211，E-mail：renji820314@hotmail.com。阮航宇1寧波大學(xué)理學(xué)院，浙江寧波（315211）2寧波大學(xué)理學(xué)院，浙江寧波（315211）摘要： 將非線性方程的變系數(shù)看作與實(shí)際物理場(chǎng)具有相等地位的新變量，用推廣的經(jīng)典李群約化法，得到了變系數(shù)KdV方程的一般解和某些特殊形式的精確解。關(guān)鍵詞：變系數(shù)KdV方程；李群約化法；推廣的對(duì)稱群；中圖分類號(hào)：O4151.引言KdV方程是孤立子理論
2、中的一個(gè)應(yīng)用非常廣泛的方程，關(guān)于KdV方程的求解已經(jīng)做過(guò)很多的研究工作。但由于KdV方程的模型是理想化的，如果在考慮實(shí)際應(yīng)用時(shí)就能得到一些具有變系數(shù)的KdV方程。近年來(lái)關(guān)于變系數(shù)非線性偏微分方程的求解方法得到越來(lái)越多的關(guān)注，主要有分離變量法[1]，行波變換法[2]，F(xiàn)-展開法[3-4]等等，這些方法各有各的優(yōu)點(diǎn)。考慮一般的變系數(shù)KdV方程：。(1)這里，和都是關(guān)于變量t的函數(shù)。文獻(xiàn)[3]使用F-展開法得到了當(dāng)時(shí)的一些周期波解。本文嘗試用李群約化法來(lái)得到該方程的解。推廣的李群約化法是求解變系數(shù)非線性偏微分方程的十分有效的途徑[5-7]。將方程中的變系數(shù)取
3、為與實(shí)際物理場(chǎng)有相等地位的變量,就可得到原方程推廣的對(duì)稱群和有限變換。利用這個(gè)推廣的對(duì)稱群,可以在變系數(shù)方程的解與常系數(shù)方程的解之間建立一種關(guān)系。這樣只要知道常系數(shù)方程的解就能通過(guò)變換得到變系數(shù)方程的解。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于，把復(fù)雜的變系數(shù)方程的解跟常系數(shù)方程的解聯(lián)系起來(lái)，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化，而且能得到很多種解。不過(guò)這種方法還存在著很多問(wèn)題有待改進(jìn)，比如方程的形式過(guò)于具體化，使得每處理一個(gè)變系數(shù)方程都需要重新計(jì)算得出相應(yīng)的變換。本文將推廣這種方法，使其能解決廣義的變系數(shù)方程。以變系數(shù)KdV方程為例，得到了變系數(shù)KdV方程的一般解和某些特殊形式的精確解。2.K
4、dV方程的推廣對(duì)稱群把KdV方程寫成以下的形式：。（2）其中作為跟u同等地位的獨(dú)立變量，則方程（2）的推廣的對(duì)稱算子和變換群為：。，，，，為群參數(shù)。為使方程形式不變，必須滿足，由此得到超定方程組：，，，，，，。求解上式可得，，，。其中A和B是t的任意平滑函數(shù)，C0是任意常數(shù)。為了得到有限變換，必須從和兩方面討論，文獻(xiàn)[7]已經(jīng)得到了一般形式的有限變換，這里不再具體介紹，只取特殊的情況，可以得到有限變換為，，，。利用這個(gè)有限變換，我們可以得到以下的變系數(shù)KdV方程：。函數(shù)選取不同的形式可以得到不同的變系數(shù)方程。以往的工作主要是選取了一些具體的函數(shù)，所得的
5、方程形式比較具體，實(shí)際應(yīng)用程度有限。為了更有利于方程的應(yīng)用，這里我們把取為任意的函數(shù)，同時(shí)進(jìn)行坐標(biāo)變換，可以得到形式一般的變系數(shù)KdV方程：。（3）其中和滿足線性相關(guān)條件：。而（3）式的源方程為經(jīng)典的常系數(shù)KdV方程：（）。（4）（3）和（4）式的解之間的聯(lián)系可以通過(guò)有限變換得到：其中u是常系數(shù)KdV方程的解。3.變系數(shù)KdV方程的解以上討論得知，只要得到常系數(shù)KdV方程的解，就可以通過(guò)相應(yīng)變換得到變系數(shù)KdV方程的解。例如常系數(shù)KdV方程的單孤子、雙孤子和周期波解分別為：，，。其中，為譜參數(shù)，，為任意常數(shù)，，。根據(jù)有限變換，得到相應(yīng)的變系數(shù)KdV方程
6、的一般解為：，（5），（6）。（7）其中，，。下面通過(guò)選取一些具體的函數(shù)來(lái)說(shuō)明變系數(shù)KdV方程解的某些特征。假設(shè)，代入式（5），（6），（7）中可得該變系數(shù)KdV方程的三個(gè)精確解：，（8），（9）。（10）其中，，。這些解如圖1a，2a，3a所示，而常系數(shù)KdV方程的解如圖1b，2b，3b所示。從圖中可知，孤子的傳播方向都發(fā)生了變化，變系數(shù)方程的孤波沿著正弦曲線傳播，傳播路徑是由變系數(shù)，的函數(shù)形式?jīng)Q定的。所以在變系數(shù)KdV方程的孤波解中，變系數(shù)起著重要作用。圖1a，，，圖1b，，圖2a，，，圖2b，，圖3a，，，圖3b，，，，4.結(jié)論本文用推廣的李群約
7、化法研究了變系數(shù)KdV方程的對(duì)稱群和有限變換，得到了該方程的一般解和精確解。這些解是通過(guò)有限變換從經(jīng)典的常系數(shù)KdV方程的解得到的。本文以行波解為例，通過(guò)假設(shè)變系數(shù)的基礎(chǔ)上得到的，在實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)不同的需要選取不同的函數(shù)形式，也能求解別的形式的解。所以推廣的李群約化法在求解變系數(shù)方程中的應(yīng)用是極為廣泛的。參考文獻(xiàn)[1]張解放，徐昌智，何寶鋼.變量分離法與變系數(shù)非線性薛定諤方程的求解探索，物理學(xué)報(bào)，Vol.53,No.11,November,2004[2]E.Fan,H.Zhang.Anoteonthehomogeneousbalancemetho
8、d[J].Phys.Lett.A,1998,246;403-406[3]Y.B.Zhou,M.
