高考數(shù)學復習點撥 第三章導數(shù)及其應(yīng)用教材解讀

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1、第三章教材解讀重點熱點：求函數(shù)的最值問題（這既是高中教材的重點，也是高考的熱點）。思想方法：1．由有限到無限、逐步逼近的思想。2．數(shù)形結(jié)合思想，利用導數(shù)的幾何意義研究曲線的變化規(guī)律。3．函數(shù)方程和轉(zhuǎn)化的方法意識，能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，從而解決問題。教材解讀：1．定義法解題例1已知函數(shù)f(x)在x＝x0處可導，則＝。分析：對于導數(shù)的定義，必須明確定義中包含的基本內(nèi)容和△x→0的方式，掌握用定義求導數(shù)的三個步驟以及用定義求導數(shù)的一些簡單變形。解：∵＝f＇(x0)。∴＝＝·＝2f(x0)·f＇(x0)。2．最

2、優(yōu)解問題例2用半徑為R的圓形鐵皮，剪一個圓心角為α的扇形，制成一個圓錐形的漏斗（如圖所示）。問圓心角α取什么值時，漏斗容積最大？分析：解實際問題時，要注意兩個量之間的轉(zhuǎn)化。就本題來說，截得的圓鐵皮的弧長是圓錐的底面的圓周長，這是列出相關(guān)函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵。解：設(shè)圓錐形漏斗的底面半徑為r，高為h，容積為V，那么：r2＋h2＝R2。容積V＝πr2h＝π(R2－h(huán)2)h＝πR2h－πh3，其中0＜h＜R。所以V＇＝πR2－πh2。令V＇＝0，得h＝R。當0＜h＜R時，V＇＞0；當R＜h＜R時，V＇＜0?！喈攈＝R時，

3、V取得極大值，并且這個極大值也是最大值，此時r＝＝R。由弧長公式Rα＝2πr，得α＝π。此時漏斗容積最大。3．應(yīng)用導數(shù)解決相關(guān)數(shù)學問題例3求證：lnx＋－(x－1)2≥1－(1－x)3。分析：可利用構(gòu)造函數(shù)求極值的方法予以證明，同時要注意x＞0這一隱含條件。解：設(shè)f(x)＝lnx＋－(x－1)2－[1－(1－x)3]，則f＇(x)＝－－(x－1)＋2(x－1)2＝＋(x－1)[2(x－1)－1]＝[1＋x2(2x－3)]＝[2x3－3x2＋1]＝[(2x3－2x2)－(x2－1)]＝(2x2－x－1)＝(2x

4、＋1)(x－1)＝(2x＋1)。令f＇(x)＝0，得x＝1或x＝－（函數(shù)定義域x＞0，故應(yīng)舍去）。在x＝1附近，f＇(x)的符號先負后正。∴當x＝1時，f(x)取得極小值，同時它也是最小值。此最小值為f(1)＝0。∴當x＞0時，f(x)≥0，即lnx＋－(x－1)2≥1－(1－x)3。4．探索性問題例4已知函數(shù)f(x)＝x2＋c，且f[f(x)]＝f(x2＋1)。⑴設(shè)函數(shù)g(x)＝f[f(x)]，求g(x)的解析式；⑵設(shè)函數(shù)Φ(x)＝g(x)－λf(x)，試問：是否存在實數(shù)λ，使Φ(x)在(－∞，－1)內(nèi)為減

5、函數(shù)，且在(－1，0)內(nèi)為增函數(shù)。分析：若f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（或減函數(shù)），則f＇(x)≥0（或≤0）在區(qū)間D上恒成立（其中使f＇(x)＝0的點是不連續(xù)的）。解：⑴由f[f(x)]＝f(x2＋1)得(x2＋c)2＋c＝(x2＋1)2＋c，整理得2cx2＋c2＝2x2＋1，即c＝1?！鄃(x)＝f[f(x)]＝f(x2＋1)＝(x2＋1)2＋1＝x4＋2x2＋2。⑵Φ(x)＝g(x)－λf(x)＝x4＋(2－λ)x2＋2(2－λ)，∴Φ＇(x)＝4x3＋2(2－λ)x。若Φ(x)在(－∞，－1)內(nèi)為減函數(shù)

6、，則4x3＋2(2－λ)x＜0對于x∈(－∞，－1)恒成立。故2－λ＞－2x2，對于x∈(－∞，－1)恒成立。因為當x∈(－∞，－1)時，－2x2＜－2。所以2－λ≥－2，即λ≤4。若Φ(x)在(－1，0)內(nèi)為增函數(shù)，則4x3＋2(2－λ)x＞0對于x∈(－1，0)恒成立。故2－λ＜－2x2，對于x∈(－1，0)恒成立。因為當x∈(－1，0)時，－2＜－2x2＜0。所以2－λ≤－2，即λ≥4。綜合上述知，當λ＝4時，Φ(x)在(－∞，－1)內(nèi)為減函數(shù)，且在(－1，0)內(nèi)為增函數(shù)。5．解決與其他學科相關(guān)的優(yōu)化問

7、題例5對某個量進行n次測量，得到n個測量結(jié)果x1，x2，…，xn。如果用x作為這個量的近似值，當x取什么值時，(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－xn)2最??？分析：首先要明確表達式中的x1，x2，…，xn都是常量，只有x是變量，就是說這是關(guān)于x的二次函數(shù)，利用導數(shù)就可以求出這個極值。解：設(shè)f(x)＝(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－xn)2＝nx2－2(x1＋x2＋…＋xn)x＋(x12＋x22＋…＋xn2)故f＇(x)＝2nx－2(x1＋x2＋…＋xn)。令f＇(x)＝0，得x＝。因為f(x

8、)為二次函數(shù)，只有一個極值，且此極值也是最值。所以，當x＝時，(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－xn)2最小。