伴隨矩陣的性質(zhì)探討

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1、第二章伴隨矩陣的性質(zhì)探討前言　　　　伴隨矩陣是線性代數(shù)中的一個重要的基本概念，但教材中及大學學習中所給出的主要應(yīng)用是在求方陣的逆矩陣上，而關(guān)于伴隨矩陣本身的性質(zhì)及其與原矩陣之間的關(guān)聯(lián)，沒有系統(tǒng)的討論和研究．本文主要通過查找現(xiàn)有資料，整理歸納出伴隨矩陣的一系列性質(zhì)．主要研究內(nèi)容：階矩陣的伴隨矩陣的行列式與秩；階矩陣的伴隨矩陣的可逆性，對稱性，正定性，正交性，和同性，特征值，特征向量及其與原矩陣的關(guān)聯(lián)；伴隨矩陣之間的運算性質(zhì)以及各性質(zhì)在題目中的綜合應(yīng)用．一．伴隨矩陣的定義設(shè)是ｎ階矩陣　中元素的代數(shù)余子式，稱矩陣　為的伴隨矩陣．　　相關(guān)內(nèi)容：《高等代數(shù)》（王萼芳　石生明版）

2、定義９在一個ｎ階行列式Ｄ中任意選定Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ），當Ｋ＜ｎ時，在Ｄ中劃去這Ｋ行Ｋ列后余的元素按原來的次序組成的ｎ－ｋ級行列式稱為Ｋ級子式Ｍ的余子式，其中Ｋ級子式Ｍ為選定的Ｋ行Ｋ列（Ｋ≤ｎ）上的個元素按照原來的次序組成的一個Ｋ級行列式．如果在前面加上符號后稱作Ｍ的代數(shù)余子式．6一．伴隨矩陣的性質(zhì)設(shè)　　　　　　　　2.1伴隨矩陣的基本性質(zhì)定理2.1　?。铍A矩陣可逆的充分必要條件是非退化（即），當可逆時，，其中為的伴隨矩陣．性質(zhì)１設(shè)為的伴隨矩陣，則證明：由行列式按一行（列）展開的公式　　　　　　可得　注：可逆時，證畢．2.2　伴隨矩陣的行列式性質(zhì)2證明:(i)若可逆，則

3、，6由性質(zhì)１得，,兩邊同時取行列式得，即，又,則（ii）若不可逆，則綜上所述，．　　證畢．2.3伴隨矩陣的秩的性質(zhì)研究矩陣的秩是矩陣的重要特征定義：設(shè)在矩陣中有一個不等于0的ｒ階子式Ｄ，且所有ｒ＋１階子式（如果存在的話）全等于0，那么Ｄ稱為矩陣的最高階非零子式，數(shù)ｒ稱為矩陣的秩，記做．如以下例題：求矩陣的秩．解：由＝，的一個二階子式故．6定理2.3矩陣的行列式為零的充分必要條件是的秩小于.(《高等代數(shù)》王萼芳石生明版)性質(zhì)3若用表示矩陣的秩,則有以下結(jié)論:設(shè)是階矩陣,則證明:①時,顯然由性質(zhì)2知,故②時,由定理知,性質(zhì)1知,即和的列向量全都為方程組的解,又,則其次方程

4、組的解向量組的和為.知的列秩為1,即.③,中任一元素都是0,因為中不存在非零的階子式,故　　證畢．2.4伴隨矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)性質(zhì)46為n階矩陣,為的伴隨矩陣,則有,特別情況有:當時,.證明:()i)當可逆時,;又由性質(zhì)1知,所以,(兩邊同時左乘)(ii)當不可逆時,,.綜上所述,.　　　證畢．2.5n階矩陣的伴隨矩陣的可逆性可逆的定義:n階矩陣稱為可逆的,如果有n階矩陣使得.．　　　伴隨矩陣可逆性與原矩陣的可逆性有以下聯(lián)系：　　　6　　　性質(zhì)５　　　　　　　可逆的充分必要條件是可逆．　　證明：必要性．　　　　由性質(zhì)１知，．若可逆，則非退化，即.　　　　兩邊同時消去

5、,得.　　　　由以上的可逆定義可知　是可逆的．　　　　　充分性．　　　　　即證可逆，則可逆，此命題與其逆否命題＂若不可逆，則也不可逆＂是等價的．　　　　　由矩陣不可逆可知,則變?yōu)樽C明若,則．　　　　這里我們用反正法．　　　　假設(shè),則可逆．由性質(zhì)１知０（兩邊同時右乘）有０　　　　得＝0，所以=0，所以與假設(shè)的矛盾．故假設(shè)不成立，原命題成立．綜上所述，可逆的充分必要條件是可逆．　　　　　證畢．2.6n階矩陣的伴隨矩陣的對稱性對稱定義：矩陣為對稱矩陣，如果，6，且有．　　　　　性質(zhì)６．若ｎ階矩陣是對陣矩陣，則其伴隨矩陣也為對稱矩陣．證明如下：　　　　　設(shè)為對稱矩陣，可知,，

6、且，可知.即證得為對稱矩陣．　　　　　證畢．　　性質(zhì)７．設(shè)非退化，若為對稱矩陣，則也為對稱矩陣．即證．證明如下：對稱可知．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　即為對稱矩陣．　　　　　證畢．　2.7伴隨矩陣與原矩陣的正定性之間的聯(lián)系矩陣正定的定義：實對稱矩陣為正定的，如果二次型正定．　　　又有，實二次型正定，如果對于任意一組不全為零的實數(shù)都有．　　　性質(zhì)８若ｎ階矩陣是正定的，則也是正定的．　　　證明：因為是正定的，所以存在可逆矩陣，使得　　　　,　　則6　　　　　又　　　　由正定的定義知也是正定矩陣．　　　證畢．2.8伴隨矩陣的正交性與其原矩陣n階矩陣的正交性的

7、關(guān)系矩陣正交的定義：n階實數(shù)矩陣稱為正交矩陣，如果．性質(zhì)9若為正交矩陣，則也為正交矩陣．　　　證明：為正交矩陣，知，　　　　　　　　　　　　由正交的定義知，也為正交矩陣．　　　　　證畢．　2.9伴隨矩陣的特征值的性質(zhì)性質(zhì)10設(shè)為n階矩陣（可逆）的特征值，則其伴隨矩陣的特征值與的關(guān)系為．　　　　證明：設(shè)是的特征值，是的屬于特征值的特征向量．　　　　　則有　　　　　兩邊同時左乘有　　　　　由性質(zhì)１知上式變?yōu)椤　　　　　　　〉?　　　　　由的特征值的性質(zhì)可知　即為的特征值．　　　　　　證畢．　推廣：　性質(zhì)11若為ｎ階矩陣（可逆）的特征值，則其伴隨矩陣的特征