函數(shù)的周期性與函數(shù)的圖

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1、函數(shù)的周期性㈠主要知識(shí)：周期函數(shù)的定義：對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個(gè)周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期.幾種特殊的抽象函數(shù)：具有周期性的抽象函數(shù)：函數(shù)滿足對(duì)定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù)（其中為常數(shù)）,①，則是以為周期的周期函數(shù)；②，則是以為周期的周期函數(shù)；③，則是以為周期的周期函數(shù)；④，則是以為周期的周期函數(shù)；⑤，則是以為周期的周期函數(shù).⑥，則是以為周期的周期函數(shù).⑦，則是以為周期的周期函數(shù).⑧函數(shù)滿足（），若為奇函數(shù)，則其周期為，若為偶函數(shù)，則其周期為.⑨函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對(duì)稱，則函數(shù)是以為

2、周期的周期函數(shù)；⑩函數(shù)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)、都對(duì)稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；⑾函數(shù)的圖象關(guān)于和直線都對(duì)稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；3、圖象的對(duì)稱性一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性：1、函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱特殊的有：①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。②函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇函數(shù)）。③函數(shù)是奇函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。④，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱2、兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性：①與關(guān)于X軸對(duì)稱。②與關(guān)于Y軸對(duì)稱。③與關(guān)于直線對(duì)稱。函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱。特殊地:與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱①與關(guān)于直線對(duì)稱。②關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱。③關(guān)于直線對(duì)稱例1定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：為偶函數(shù)，且

3、，則一定是（）A.是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)B.是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C.是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)D.是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以。所以有兩條對(duì)稱軸，因此是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，所以x＝0即y軸也是的對(duì)稱軸，因此還是一個(gè)偶函數(shù)。故選（A）。例2設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則___________解：因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以的對(duì)稱軸；又因?yàn)榈膶?duì)稱軸。故是以2為周期的周期函數(shù)，所以例3函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸的方程是（）解：函數(shù)的圖像的所有對(duì)稱軸的方程是，所以，顯然取時(shí)的對(duì)稱軸方程是，故選（A）。例4設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)

4、，且的圖象關(guān)于直線，則：_____________解：函數(shù)的圖像既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于直線對(duì)稱，所以周期是2，又，圖像關(guān)于對(duì)稱，所以，所以例5、函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則__________。練習(xí)1.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)=f(1－x),當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)=－x，則f(8.6)=_________（第八屆希望杯高二第一試題）解：∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)∴x=0是y=f(x)對(duì)稱軸；又∵f(1+x)=f(1－x)∴x=1也是y=f(x)對(duì)稱軸。故y=f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0

5、.6)=f(－0.6)=0.3練習(xí)2設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)=－f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x，則f(7.5)=（）(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.5解：∵y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴點(diǎn)（0，0）是其對(duì)稱中心；又∵f(x+2)=－f(x)=f(－x)，即f(1+x)=f(1－x)，∴直線x=1是y=f(x)對(duì)稱軸，故y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)?！鄁(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5故選(B)練習(xí)3已知在R上是奇函數(shù)，且AA.-2B.2C.-98D.98練習(xí)4、函數(shù)

6、滿足，若，則(C)（Ａ）　?。ǎ拢　。ǎ茫　。ǎ模┚毩?xí)5、若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)=1，f(2)=2則的值為（）A、B、1C、D、2練習(xí)6、已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有，且當(dāng)時(shí)，，則的值為(C)A．　　　B．　　　C．　　　　D．練習(xí)7、定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)又是以為周期的周期函數(shù),則等于(B)A.-1B.0C.1D.4練習(xí)8、函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與都是奇函數(shù)，則(D)A、2009B、-2009C、-2D.、2練習(xí)9、的定義域是，且,若求?f(2008)的值。解：周期為8，練習(xí)10、已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則下列命題中：

7、①若f（x－2）是偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱；②若f（x+2）＝－f（x－2），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③函數(shù)y＝f（2+x）與函數(shù)y＝f（2－x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱；④函數(shù)y＝f（x－2）與函數(shù)y＝f（2－x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱.其中正確的命題序號(hào)是?④?.【解析】?①是錯(cuò)誤的，由于f（x－2）是偶函數(shù)得f（－x－2）＝f（x－2），所以f（x）的圖象關(guān)于直線x＝－2對(duì)稱；②是錯(cuò)誤的，由f（x+2）＝－f（x－2）得f（x+4）＝－f（x），進(jìn)而得f（x+8）＝f（x），所以f（x）是周期為8的周期函數(shù)

8、；③是錯(cuò)誤的，在第一個(gè)函數(shù)中，用－x