階梯教室座位設(shè)計(jì)問(wèn)題

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1、數(shù)科三班馬萍201211131910階梯教室座位設(shè)計(jì)問(wèn)題摘要本文研究的是階梯教室座位設(shè)計(jì)問(wèn)題，座位的滿意程度主要取決于視角α和仰角β。視角α是學(xué)生眼睛到黑板上、下邊緣的夾角，α越大越好；仰角β是學(xué)生眼睛到黑板上邊緣視線與水平線的夾角，β太大使人的頭部過(guò)分上仰，引不舒適感，一般要求不超過(guò)30度。而對(duì)于本題中的問(wèn)題一、問(wèn)題二和問(wèn)題三則需要實(shí)際情況，分側(cè)重點(diǎn)考慮視角α和仰角β的影響。對(duì)問(wèn)題一，在地板線傾角給定的情況下建立仰角α與某個(gè)學(xué)生到階梯教室黑板水平距離的函數(shù)，在β<=30度的情況下，求的最佳座位。對(duì)于問(wèn)題二，在β=30

2、度時(shí)，通過(guò)求解多組θ值所對(duì)應(yīng)的最佳座位位置，發(fā)現(xiàn)最佳座位位置在一個(gè)固定位置附近擺動(dòng)，并且此固定位置距離首排座位較近，在此距離中的學(xué)生滿意程度隨θ的增大而逐漸增大，所以所有學(xué)生的平均滿意程度主要取決于視角α的值。僅對(duì)視角α進(jìn)行討論，得出結(jié)果。問(wèn)題三在問(wèn)題二的基礎(chǔ)上做進(jìn)一步的改進(jìn)，通過(guò)分析得知在問(wèn)題二中的固定位置之前的學(xué)生迫切要求其座位再高一些，所以可以讓他們的座位從前往后豎直方向變化的速度大于水平方向的速度；而固定位置之后的學(xué)生要求座位靠前一些，所以可以讓他們的座位水平方向的變化速度大于豎直方向的速度。而固定位置附近的坡

3、度變化緩慢，綜合得出進(jìn)一步提高學(xué)生滿意程度的方案關(guān)鍵字階梯教室座位設(shè)計(jì)最佳位置平均滿意程度問(wèn)題的重述下圖為階梯教室的剖面示意圖，座位的滿意程度主要取決于視角α和仰角β。視角α是學(xué)生眼睛到黑板上、下邊緣視線的夾角，α越大越好；仰角β是學(xué)生眼睛到黑板上邊緣視線與水平線的夾角，β太大使人的頭部過(guò)分上仰，引起不舒適感，一般要求β不超過(guò)30o。設(shè)階梯教室黑板高h(yuǎn),上邊緣距地面高H，地板線傾角θ，第一排和最后一排座位與黑板水平距離分別為d和D,學(xué)生平均坐高為c（指眼睛到地面的距離）。已知參數(shù)h=1.8，H=5，d=4.5，D=19

4、，c=1.1（單位：m）。(如圖所示)(1)地板線傾角θ＝10o，問(wèn)最佳座位在什么地方。(2)求地板線傾角θ（一般不超過(guò)20o），使所有學(xué)生的平均滿意程度最大。(3)地板線設(shè)計(jì)成什么形狀可以進(jìn)一步提高學(xué)生的滿意程度模型的假設(shè)1、假設(shè)學(xué)生可以按照比例近似為一段線段2、假設(shè)設(shè)計(jì)過(guò)程中沒(méi)有學(xué)生數(shù)額要求3、假設(shè)階梯教室的地面是水平的；符號(hào)的說(shuō)明H——黑板上邊緣到地面的距離。D------最后一排到黑板的水平距離h------黑板的高度c-------學(xué)生平均座高d-------第一排到黑板的水平距離α------學(xué)生眼睛與黑板

5、上下邊緣的夾角β------學(xué)生眼睛到黑板上邊緣視線與水平線的夾角θ-----地板線傾角m-------學(xué)生腳底到水平線的垂直距離M-------任意一位學(xué)生的座位位置A-------黑板上邊緣的位置點(diǎn)B-------黑板下邊緣的位置點(diǎn)O-------學(xué)生座位到黑板的水平線與黑板所在豎直線的交點(diǎn)χ------學(xué)生座位到黑板的水平距離問(wèn)題的分析問(wèn)題一：題中給出了地板線與水平面的具體夾角，要求求出最佳座位。根據(jù)題中已知條件，算出首排學(xué)生的仰角位為38.62度，可知在θ給定的情況下，學(xué)生的最佳座位應(yīng)該在β=30度的位置上。為

6、此要找到α與某一變量的函數(shù)關(guān)系式，求此關(guān)系式函數(shù)所對(duì)應(yīng)的圖像，如圖一，進(jìn)一步說(shuō)明了這一點(diǎn)。具體找關(guān)系式是在題中所給的圖中可以看出α在一個(gè)三角形中。因此我們用余弦定理找出角度α與每個(gè)邊的關(guān)系。題目要求最佳座位，我們?cè)O(shè)學(xué)生與黑板之間.的水平距離χ，運(yùn)用簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系，我們得出了α與χ的函數(shù)關(guān)系式。最終得出α的最大值，即找出最佳座位。圖一問(wèn)題二：在問(wèn)題二中，要求解出一個(gè)θ值，使得所有的學(xué)生的平均滿意程度最大。在第一題的結(jié)果中，我們知道，隨著χ的增大，的值單調(diào)遞增，且α為一銳角，則α的值逐漸減小。同樣由第一問(wèn)可知β的值在整個(gè)過(guò)

7、程中是逐漸減小的，在計(jì)算的過(guò)程中，隨著q的變化，最佳位置總在某一點(diǎn)附近擺動(dòng)，在β=30度時(shí)，取定此位置，在此位置右側(cè)β<=30度，最佳位置只受α的影響，左側(cè)同時(shí)受α和β的影響，但隨著q值從0度到20度變化，α逐漸變大，β逐漸減小，并考慮到此點(diǎn)距首位置較近，因此可以忽略β的影響，從全局考慮α的影響即可。又由于首座位的α值固定，故末位置α值取得最大值即可求得此時(shí)θ角的大小，列出末位置cosα—θ的函數(shù)關(guān)系，用EXCEL處理，由函數(shù)圖像求得所求θ值。問(wèn)題的求解:在β=30度時(shí)，由公式：TAN30°={5-[(X-4.5)*T

8、ANθ+1.1]}/X求得:θ=5°時(shí)，χ=6.432；θ=10°時(shí)，χ=6.225；θ=15°時(shí)，χ=6.020；θ=20°時(shí)，χ=5.820；取其平均值得X=6.123；模型的建立與求解問(wèn)題一：在階梯教室座位設(shè)計(jì)問(wèn)題上，根據(jù)題中給出的簡(jiǎn)易的平面幾何圖（如下圖圖二），加之在問(wèn)題一的分析的基礎(chǔ)上，我們將此問(wèn)題歸結(jié)為在幾何圖中求α最