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1、空間曲線的主法線曲面的幾何性質(zhì)目錄第一章緒論1第二章空間曲線的主法線曲面的曲率12.1第一基本形式12.2第二基本形式22.3法曲率22.4主曲率22.5高斯曲率32.6平均曲率3第三章空間曲線的主法線曲面上的特殊曲線族33.1漸近線33.1.1空間曲線的主法線曲面的漸近線方程33.1.2空間曲線的主法線曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件43.2曲率線53.2.1空間曲線的主法線曲面的曲率線方程53.2．2空間曲線的主法線曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線網(wǎng)的充要條件53.3測地線63.3.1空間曲線的主法線曲面的測地線方程63.3.2空間曲線的主法線曲
2、面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是半測地網(wǎng)的充要條件73.3.3空間曲線的主法線曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是測地網(wǎng)的充要條件7第四章主法線曲面是常曲率或極小曲面的充要條件84.1空間曲線的主法線曲面是常曲率曲面的充要條件84.2空間曲線的主法線曲面是極小曲面的充要條件8第五章特殊曲線的主法線曲面的性質(zhì)95.1曲率和撓率均為常數(shù)的特殊曲線的主法線曲面的幾何性質(zhì)95.2正螺面的幾何性質(zhì)10致謝：11參考文獻(xiàn)：12附錄：13第一章緒論本文主要是對空間曲線的主法線曲面的幾何性質(zhì)進(jìn)行系統(tǒng)化、全面化、深入化的研究。通過類比一般空間曲線、曲面的研究方法，將向量、微積分的思想融入到空間曲
3、線的主法線曲面幾何性質(zhì)的研究中，從而更全面的分析和了解空間曲線的主法線曲面的幾何性質(zhì)。因此，對于主法線曲面的幾何性質(zhì)的研究首先就是要了解其度量性質(zhì)如：曲面上曲線的長度、面積等等這些內(nèi)蘊性質(zhì)。了解了曲面的內(nèi)蘊性質(zhì)就是要研究其幾何性質(zhì)包括曲面的彎曲程度。所以我們首先就是要給出它們的第一基本形式和第二基本形式，進(jìn)而給出它們的法曲率、主曲率、Gauss曲率、平均曲率等來刻畫曲面的彎曲程度。再通過研究曲面上的特殊曲線：漸近線、曲率線、測地線并給出參數(shù)網(wǎng)是漸近線網(wǎng)、曲率線網(wǎng)、測地線網(wǎng)的充要條件等等來說明主法線曲面的特殊性質(zhì)。最后通過研究特殊曲線的主法線曲面
4、來深化以上的性質(zhì)，使我們對于主法線曲面有更形象更深刻的認(rèn)識。第二章空間曲線的主法線曲面的曲率2.1第一基本形式第一基本形式描述了曲面的度量性質(zhì)，它可以使我們計算出曲面上曲線的長度與區(qū)域的面積。設(shè)任意空間曲線的自然參數(shù)表示為，為曲線上任意一點的主法向量，則曲線的主法曲面為。根據(jù)空間曲線的伏雷內(nèi)（）公式，即，則有，，則曲面的第一基本量，，。因此，空間曲線的主法線曲面的第一基本形式是：Ⅰ=。122.2第二基本形式正如在研究空間曲線的時候我們不僅僅研究了弧長，還研究了曲線的曲率與撓率。對于曲面我們也不僅僅要研究該曲面的內(nèi)蘊性質(zhì)，即曲面的第一基本形式所確
5、定的幾何性質(zhì)還應(yīng)該研究刻畫曲面離開切平面的彎曲程度的量。因此，我們引入第二基本形式來表示空間曲線的主法線曲面的彎曲性。曲面的單位法向量，，，則有第二基本量分別為：，，因此，空間曲線的主法線曲面的第二基本形式是：Ⅱ=。2.3法曲率由第二基本形式可以知道曲面在已知點處的彎曲性仍與方向相關(guān)，即沿著不同的方向曲面以不同的速度離開切平面。所以，我們用法曲率刻畫曲面上一點在方向上的彎曲性，則空間曲線的主法線曲面的法曲率為：2.4主曲率曲面上已知點（非臍點）的法曲率是一個隨著方向不斷變化的變量，在這些變化的值中存在的最大值和最小值，即曲面在已知點的主曲率、。
6、12根據(jù)主曲率的計算公式。即有空間曲線的主法線曲面的主曲率計算公式為：解之得：，2.5高斯曲率、是空間曲線的主法線曲面上的主法曲率，則高斯曲率是，它描述了空間曲線的主法線曲面在一點處的總的彎曲程度。當(dāng)曲面的高斯曲率是常數(shù)時，我們就稱此曲面是常曲率曲面。不難發(fā)現(xiàn)，曲面上任意一點都有，則空間曲線的主法線曲面上的點不可能是橢圓點。同時，我們也可以知道空間曲線的主法線曲面是一類直紋面。特別地，當(dāng)且僅當(dāng)對于曲面上任意一點時，有撓率，即空間曲線為平面曲線時，空間曲線的主法線曲面是可展曲面。2.6平均曲率、是空間曲線的主法線曲面上的主法曲率，則平均曲率是：。
7、它描述了空間曲線的主法線曲面在一點處的平均的彎曲程度。第三章空間曲線的主法線曲面上的特殊曲線族3.1漸近線3.1.1空間曲線的主法線曲面的漸近線方程空間曲面上漸近曲線的微分方程是12。由空間曲線的主法線曲面的第二基本量可知，此類空間曲面上的漸近曲線的微分方程是，即所得漸近線的微分方程為以及（3.1）。整理（3.1）可得：。令，則有，可以發(fā)現(xiàn)上式是一次線性非齊次方程。因此，根據(jù)常微分方程的常數(shù)變易法可得到（3.1）的通解為：。綜上所述，空間曲面上的漸近曲線的方程為（其中為常數(shù)），。特別地，空間曲線在它的主法線曲面上是漸進(jìn)曲線。因為空間曲線的主法線
8、曲面的法向量是，而曲線的主法向量是，故與的夾角是，則曲線上任意一點處沿切方向的法曲率，即空間曲線在它的主法線曲面上是漸進(jìn)曲線。3.1.2空間曲線的主法
