實(shí)變函數(shù)與泛函分析答案

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1、山東農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)考試必備?。∫?、5．設(shè)為集列，，證明（i）互相正交（ii）證明：（i）；不妨設(shè)n>m，因?yàn)椋忠驗(yàn)椋?，故，從而相互正?（ii）因?yàn)椋?，所以，現(xiàn)在來證：當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有：則事實(shí)上，，則使得，令則，其中，當(dāng)時(shí)，，從而，6．設(shè)是定義于E上的實(shí)函數(shù)，a為常數(shù)，證明：（i）=(ii)=證明：（i）且反過來，，使即故所以故1210．證明：中坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)是可數(shù)的。證明：設(shè)Q為有理數(shù)集，由定理6：Q是可數(shù)的?，F(xiàn)在證：可數(shù)，因?yàn)槭强蓴?shù)個(gè)有理數(shù)集的并，故可數(shù)，又因?yàn)椴⑶?，所以可?shù)故可數(shù)14．證明：可數(shù)集的有限子集的全體仍是可數(shù)證明：設(shè)

2、Q為可數(shù)集，不妨記為：,令則為有限集（），則為正交可數(shù)集，即又因?yàn)椋?，故A是Q上一切有限子集的全體。27.試用Borel有限覆蓋定理證明：Bolzano-Weiestyass定理（P24定理4，若是是一個(gè)有界無窮點(diǎn)集，則）.證明：設(shè)是中的有界無窮點(diǎn)集，如果，則，，使得，則.由Borel有限覆蓋定理，，有，從而===，這與為無窮集矛盾，從而.29.可數(shù)個(gè)開集的交稱為型集，可數(shù)個(gè)閉集的并稱為型集.證明：有理數(shù)集不是型集，但是型集.證明：設(shè)為中全體有理數(shù)所構(gòu)成的集合.如果是型集，即，12其中是開集，由開集的結(jié)構(gòu)，，，其中是互不相交的開區(qū)間.不是一般性，設(shè)這是，必有

3、（1）事實(shí)上，如果，即為有理數(shù)，.因?yàn)?，，故，這與矛盾.(2),如果，.則.因此，，有.這有：這是一矛盾.(3).事實(shí)上，若，則為有限實(shí)數(shù)，，使得，，故，這也是一矛盾.為可數(shù)集，這與矛盾.因?yàn)樵谥袉吸c(diǎn)集是閉集，所以，令，則為閉集，所以，故為型集.31.假設(shè)，且對(duì)任意，存在的一個(gè)-領(lǐng)域，使得最多只有可數(shù)個(gè)點(diǎn)，證明：必有有限級(jí)或可列集.證明：因?yàn)椋沟檬且粋€(gè)至多可數(shù)集，而由24題，使得：12又.即至多可數(shù).二、2.證明：若是有界集，則.證明：若是有界.則常數(shù)，使，有，即，有，從而.所以3.至少含有一個(gè)內(nèi)點(diǎn)的集合的外測(cè)度能否為零？解：不能.事實(shí)上，設(shè)，中有一個(gè)內(nèi)點(diǎn).,

4、使得.則所以.7.證明：對(duì)任意可測(cè)集，下式恒成立..證明：且故.即又因?yàn)?且，所以故，從而9.設(shè)，，是中的兩個(gè)可測(cè)集，且，證明：12證：=.所以又因?yàn)?==+].所以=因?yàn)?所以.11.設(shè)是中的不可測(cè)集，是中的零測(cè)集，證明：不可測(cè).證明：若可測(cè).因?yàn)?，所?即.故可測(cè).從而可測(cè)，這與不可測(cè)矛盾.故不可測(cè).12.若是中的零測(cè)集，若閉集是否也是零測(cè)集.解：不一定，例如：是中的有理數(shù)的全體..,但.13.證明：若是可測(cè)集，則，存在型集，型集，使，證明：由P51的定理2，對(duì)于，存在型集，使得.由得可測(cè)性，.則..即，.12再由定理3，有型集使得.且三、2.設(shè)是上的函數(shù)，

5、證明：在上的可測(cè)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)一切有理數(shù)，是可測(cè)集.證：，取單調(diào)遞減的有理數(shù)序列使得，則.由每個(gè)}的可測(cè)性，知可測(cè).從而，在上的可測(cè).設(shè)在上的可測(cè)，即，可測(cè).特別地，當(dāng)時(shí)有理數(shù)時(shí)，可測(cè).4.設(shè)是上的可測(cè)函數(shù)，證明：在上可測(cè).證明：，因?yàn)樵谏峡蓽y(cè).所以是可列集.即可測(cè).從而在上可測(cè).7.設(shè)是上的可測(cè)函數(shù)，證明：（i）對(duì)上的任意開集，是可測(cè)集；(ii)對(duì)中的任何開集，是可測(cè)集；（iii）對(duì)中的任何型集或型集，是可測(cè)集.證：（i）當(dāng)時(shí)中有界開集時(shí)，由第一章定理11（P.30），是至多可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間的并，即.由在上哦可測(cè)性，知：每個(gè)可測(cè)，從而可測(cè).若是的誤解開集，，

6、記，則是中有界開集，且，故.故由得可測(cè)性，知可測(cè).(ii)設(shè)是中的任一閉集，記是中開集.=12，即.由與得可測(cè)性，知，可測(cè).（iii）設(shè)，分別為中型集和型集.即，存在開集列，閉集列使得，從而，且.由與的可測(cè)性，知與均可測(cè).14.設(shè),是上的兩個(gè)可測(cè)函數(shù)序列，且，，都是上的有限函數(shù)證明：（i）是上可測(cè)函數(shù)（ii）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，證明：（i）因?yàn)?，是可測(cè)函數(shù)列，由定理，有一個(gè)子列，使得.再由P62性質(zhì)4，是在可測(cè)，同理，在可測(cè).（ii）先證：當(dāng)時(shí)，，有.事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，，.所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，?從而.再證：.事實(shí)上，，.12.所以：.四、1．設(shè)是上的可積函數(shù)，如果對(duì)于上

7、的任意可測(cè)子集，有，試證：，證明：因?yàn)?，而?由已知，.又因?yàn)?，所以?故,,從而.即，，.2.設(shè)，都是上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，并且對(duì)任意常數(shù)，都有，試證：，從而，.證明：我們證，是同一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)序列的極限函數(shù).及，令，并且12.則是互不相交的可測(cè)集，并且，定義簡(jiǎn)單函數(shù).下面證明：，.,若，則，，所以，即；若，則可取正整數(shù)，時(shí),.故，存在，.即，，.所以，，從而，.同理，，定義簡(jiǎn)單函數(shù)列，其中：，..同上一樣可證明：，.因?yàn)椋?故，.從而，，有.即，，.因此.3.若，計(jì)算.12解：設(shè)為有理數(shù)，，則.5.設(shè)，都是上的可積函數(shù)，試證明：也是上可積函數(shù).證明：（1）先證：

8、設(shè)與都是上的可測(cè)函數(shù)且，