空間向量的直角坐標運算.doc

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1、空間向量的直角坐標運算目標認知學習目標：　　1．掌握空間向量的坐標表示、坐標運算、夾角公式、距離公式?！　?．能通過坐標運算判斷向量的共線與垂直.　　3．理解直線的方向向量與平面的法向量.會求平面的法向量重點：　　掌握空間向量的坐標運算，能通過坐標運算判斷向量的共線與垂直.難點：　　向量坐標的確定以及夾角公式，距離公式的應用學習策略：　?、倏臻g向量的直角坐標運算和平面向量的直角坐標運算類似，兩個向量的加、減、數(shù)乘運算就是向量的　　　橫坐標、縱坐標、豎坐標分別進行加、減、數(shù)乘運算；空間兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘　　　

2、積之和?！　、趯τ诖怪眴栴}，一般是利用進行證明；對于平行問題，一般是利用共線向量和共面　　　向量定理進行證明．知識要點梳理知識點一：空間向量的基本定理1．共線向量定理：　　空間任意兩個向量、（≠），//的充要條件是存在實數(shù)λ，使＝λ2．共面向量定理（平面向量的基本定理）　　兩個向量、不共線，向量與向量、共面的充要條件是存在唯一實數(shù)對,使.　　*推論：P、A、B、C四點共面的充要條件：，其中O為空間任意一點，x、y、z為實數(shù)，且x+y+z=1.3．空間向量基本定理　　如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

3、，使?！　∪羧齻€向量、、不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。知識點二：空間直角坐標系及空間向量的坐標表示（1）單位正交基底　　若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，常用表示；（2）空間直角坐標　　在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸．我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量都叫坐標向量?！　⊥ㄟ^每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面；　　　　　

4、　　　　　　　　　　　　　　?。?）空間直角坐標系中的坐標　　在空間直角坐標系中，以為單位正交基底，對空間任一點，對應向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，則在空間直角坐標系中，點的坐標為，記作，其中叫點的橫坐標，叫點的縱坐標，叫點的豎坐標．向量?！　×阆蛄坑涀鳌　∽⒁猓嚎臻g直角坐標系是在仿平面直角坐標系的基礎上，選取空間任意一點O和一個單位正交基底（按右手系排列）建立的坐標系，做題選擇坐標系時，應注意點O的任意性，原點O的選擇要便于解決問題，既有利于作圖直觀性，又要盡可能使各點的坐標為正。知識點三：空間向量的直角坐標運算（1）空

5、間兩點的距離公式　　若，，則　?、佟　　〖矗阂粋€向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標?！　、?，　　　或　　注意：兩點間距離公式是模長公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標表示，然后再用模長公式推出。（2）向量加減法、數(shù)乘的坐標運算　　若，，則　?、?；　?、冢弧　、?；（3）向量數(shù)量積的坐標運算　　若，，則　　；　　即：空間兩個向量的數(shù)量積等于他們的對應坐標的乘積之和。（4）空間向量長度及兩向量夾角的坐標計算公式　　若，，則　?、?，．　?、冢　∽⒁猓骸　。?）夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積

6、的定義推出：　　　　，其中θ的范圍是　?。?）　?。?）用此公式求異面直線所成角等角度時，要注意所求角度與θ的關系（相等，互余，互補）。（5）空間向量平行和垂直的條件　　若，，則　?、伲?，　?、凇　∫?guī)定：與任意空間向量平行或垂直　　作用：證明線線平行、線線垂直.知識點四：空間向量的簡單應用1.直線的方向向量與直線的向量方程　?、僦本€的方向向量：若A、B是直線上的任意兩點，則為直線的一個方向向量；與平行的任　　　意非零向量也是直線的方向向量?！　、谥本€的向量方程：A、B在直線上，P為直線上任意點，則；2.平面的法向量：　　如果

7、直線垂直于平面,那么直線的方向向量就叫做平面的法向量?！　≡O平面的法向量為，A、P為平面內(nèi)任意兩點，則；規(guī)律方法指導1．如何用坐標表示空間向量？　　合理地建立空間直角坐標系，當空間向量的起點移至坐標原點時，終點的坐標就是向量的坐標。兩個向量相等是指兩個向量方向相同，長度相等，而與起點的位置無關，因此，向量的坐標表示等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去它的起點坐標，而不是一味地將向量的起點移至原點，用終點坐標表示向量坐標。2．空間任一點P的坐標確定的方法　　　　　　　　　　　　　　　　　如圖所示，過P作面的垂線，垂足為P＇

8、，在面中，過P＇分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A、C，求出在平面內(nèi)的坐標（x，y，0），再求出并確定z的符號，得坐標P（x，y，z）。3．如何求一個向量在另一個向量上的投影？　　求向量在向量上的投影，首先計算出向量的模

9、

10、，再求出兩個向量、的夾角，最后計算出在向量上投影，由于兩向量的夾