用函數(shù)的觀點看數(shù)列 （ 劉若菡）

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1、用函數(shù)的觀點看數(shù)列溫州七中劉若菡設(shè)計立意及思路：數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸。它是定義在自然集或它的子集{1，2，…，n}上的函數(shù)。對于等差數(shù)列而言，可以把它看作自然數(shù)n的“一次函數(shù)”，前n項和是自然數(shù)n的“二次函數(shù)”。等比數(shù)列可看作自然數(shù)n的“指數(shù)函數(shù)”。因此，學(xué)過數(shù)列后，一方面對函數(shù)概念加深了解，拓寬了學(xué)生的知識范圍；另一方面也為今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中有關(guān)級數(shù)的知識和解決現(xiàn)實生活中的一些實際問題打下了基礎(chǔ)。高考考點回顧1．與二次函數(shù)有關(guān)的等差數(shù)列的問題（2004年重慶卷）若{an}是等差數(shù)列，首項a1>0,a2003+a2004>0,a2003a2004<0,則使前n項和Sn成立

2、的最大自然數(shù)n是()(A)4005(B)4006(C)4007(D)4008（1992年全國高考試題）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，已知a3=12，S12>0,S13<0。（1）求公差d的取值范圍(2)指出S1，S2,...,Sn中哪一個值最大，并說明理由。（2002年上海春季高考題）設(shè)｛an｝(n∈N)是等差數(shù)列,Sn是其前n項的和,且S5S5(D)S6與S7均為Sn的最大值2．與函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的數(shù)列問題（2002年上海卷）已知函數(shù)f(x)=a·bx的圖象過點A（4，）和B（5

3、，1）（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）記an=log2f(n),n是正整數(shù)，Sn是數(shù)列｛an｝的前n項和，解關(guān)于n的不等式anSn≤0；（3）（文）對于（2）中的an與Sn，整數(shù)96是否為數(shù)列｛anSn｝中的項？若是，則求出相應(yīng)的項數(shù)；若不是，請說明理由。（理）對于（2）中的an與Sn，整數(shù)104是否為數(shù)列｛anSn｝中的項？若是，則求出相應(yīng)的項數(shù)；若不是，請說明理由。3.用函數(shù)觀點解數(shù)列應(yīng)用題基礎(chǔ)知識梳理：1.關(guān)于等差數(shù)列{an}(1)通項公式an=a1+(n-1)d,可以寫成an=dn+(a1-d)。它是n的一次函數(shù)，以（n,an）為坐標(biāo)的一群離散點均勻地分布在直線上。

4、公差d=是相應(yīng)直線的斜率。當(dāng)d>0時，數(shù)列遞增；當(dāng)d<0時，數(shù)列遞減；當(dāng)d=0時，{an}為常數(shù)數(shù)列。（2）求和公式Sn=na1+d,可以寫成Sn=n2+(a1-)n。它是n的二次函數(shù)（缺常數(shù)項），它的圖象是過原點的拋物線上的一群孤立點。從函數(shù)的角度理解，Sn=na1+d變形為Sn=n2+(a1-)n。當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式，且常數(shù)項為零。此時，可以應(yīng)用相應(yīng)二次函數(shù)的圖象了解Sn的增減變化及最值等問題。當(dāng)d=0時，{an}是常數(shù)列，Sn=na1,此時，若a1≠0,則Sn是關(guān)于n的一次式；若a1=0,則Sn=0。1.關(guān)于等比數(shù)列{an}通項公式an=a1qn-1,可以寫

5、成an=·qn(n∈N*)。當(dāng)q>0且q≠1時，y=qx(x∈R)是指數(shù)函數(shù)，而y=·qx(x∈R)是一個不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此an=·qn(n∈N*)的圖象是函數(shù)y=·qx(xR)的圖象上的一群孤立點。很明顯，若>0,當(dāng)q>1時，數(shù)列遞增；當(dāng)0

6、S13求出a1與d的關(guān)系解法一設(shè)公差為d，由S5=S13,有5a+=13a1+由此得a1=-，而a1<0,故d>0,即{an}是首項為負(fù)數(shù)的遞增數(shù)列。因此，當(dāng)an≤0且an+1>0時，Sn有最小值，即需-+(n-1)d≤0,-+nd>0,解得0,所以Sn=na1+d=-+-n=n2-9dn=(n2-18n)=(n-9)2-.由此可知，當(dāng)n=9時，Sn最小。思路導(dǎo)引：既然sn是常數(shù)項為零的二次函數(shù)，那么，能否

7、結(jié)合二次函數(shù)的圖象來解決本題？（教師畫出開口向下且過原點的拋物線）從函數(shù)的角度看，已知條件中S5=S13意味著什么？引導(dǎo)學(xué)生得出，說明在二次函數(shù)Sn=n2+(a1-)n中，當(dāng)n=5與n=13時，對應(yīng)的函數(shù)值相等。（教師在畫出的拋物線上描出這兩點）描出這兩個對稱點后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察拋物線的對稱軸位置解法三已知S5=S13，而Sn是n的二次函數(shù)（二次項系數(shù)>0）,由拋物線的對稱性可得其對稱軸方程為n==9。所以，當(dāng)n=9時，Sn最小。小結(jié)：以上分別利用了單調(diào)性、配方轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)以及數(shù)形結(jié)合